Question

2．阅读材料，大数学家高斯在上学时研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？经过研究这个问题，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1）其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？
观察下面三个特殊的等式：
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2），
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3），
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4），
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=1260．

Answer 1

分析 （1）将1×2+2×3+3×4+…+10×11中乘法按照题意全部展开，提取公因数$\frac{1}{3}$后计算即可；
（2）将1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）中乘法按照题意全部展开，提取公因数$\frac{1}{3}$后括号内化简即可；
（3）类比题目规律，三数相乘时公因数为$\frac{1}{4}$，括号内为两组四个连续整数乘积的差，按照以上相同算法可得．

解答 解：（1）1×2+2×3+3×4+…+10×11
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$（10×11×12-9×10×11）
=$\frac{1}{3}$（10×11×12）=440；
（2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）
=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）+$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）+$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）+…+$\frac{1}{3}$[n×（n+1）×（n+2）-（n-1）×n×（n+1）]
=$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2）；
（3）∵1×2×3=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4-0×1×2×3）；
2×3×4=$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4）；
3×4×5=$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）；
…
7×8×9=$\frac{1}{4}$（7×8×9×10-6×7×8×9）；
∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9
=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4-0×1×2×3）+$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4）+$\frac{1}{4}$（3×4×5×6-2×3×4×5）+…+$\frac{1}{4}$（7×8×9×10-6×7×8×9）；
=$\frac{1}{4}$（7×8×9×10）
=1260．
故答案为：（2）$\frac{1}{3}$n（n+1）（n+2），（3）1260．

点评 本题主要考查数字的变化类，找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的是关键．