Question

【题目】有一个n位自然数能被x0整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x0+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x0+2整除，按此规律轮换后， 能被x0+3整除，…， 能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x0的一个“轮换数”．

例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；

再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．

（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．

（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）三位自然数为201，207，255.

【解析】试题分析：（1）先设出两位自然数的十位数字，表示出这个两位自然数，和轮换两位自然数即可；
（2）先表示出三位自然数和轮换三位自然数，再根据能被5整除，得出b的可能值，进而用4整除，得出c的可能值，最后用能被3整除即可．

解：（1）设两位自然数的十位数字为x，则个位数字为2x，

∴这个两位自然数是10x+2x=12x，

∴这个两位自然数是12x能被6整除，

∵依次轮换个位数字得到的两位自然数为10×2x+x=21x

∴轮换个位数字得到的两位自然数为21x能被7整除，

∴一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，这个两位自然数一定是“轮换数”；

（2）∵三位自然数是3的一个“轮换数”，且a=2，

∴100a+10b+c能被3整除，

即：10b+c+200能被3整除，

第一次轮换得到的三位自然数是100b+10c+a能被4整除，

即100b+10c+2能被4整除，

第二次轮换得到的三位自然数是100c+10a+b能被5整除，

即100c+b+20能被5整除，

∵100c+b+20能被5整除，

∴b+20的个位数字不是0，便是5，

∴b=0或b=5，

当b=0时，

∵100b+10c+2能被4整除，

∴10c+2能被4整除，

∴c只能是1，3，5，7，9；

∴这个三位自然数可能是为201，203，205，207，209，

而203，205，209不能被3整除，

∴这个三位自然数为201，207，

当b=5时，∵100b+10c+2能被4整除，

∴10c+502能被4整除，

∴c只能是1，5，7，9；

∴这个三位自然数可能是为251，255，257，259，

而251，257，259不能被3整除，

∴这个三位自然数为255，

即这个三位自然数为201，207，255．