Question

“黄海”生化食品研究所欲将甲、乙、丙三种食物混合研制成100千克食品，并规定研制成的混合食品中至少需要44 000单位的维生素A和48 000单位的维生素B．三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表所示：设取甲、乙、丙三种食物的质量分别为x千克、y千克、z千克．

类    别	甲种食物	乙种食物	丙种食物
维生素A（单位/千克）	400	600	400
维生素B（单位/千克）	800	200	400
成本（元/千克）	9	12	8

（1）根据题意列出等式或不等式，并证明：y≥20且2x-y≥40；
（2）若限定混合食品中要求含有甲种食物的质量为40千克，试求此时制成的混合食品的总成本w的取值范围，并确定当w取最小值时，可取乙、丙两种食物的质量．

Answer 1

分析：（1）根据题意列出等式或不等式

x+y+z=100 400x+600y+400z≥44000 800x+200y+400z≥48000

，整理并解不等式，可得y≥20且2x-y≥40；

（2）由题意可得w=40×9+12y+8z，然后有y、z的值决定w的取值范围，从而得出w取最小值时，可取乙、丙两种食物的质量．

解答：解：（1）根据题意得

x+y+z=100 400x+600y+400z≥44000 800x+200y+400z≥48000

整理得

x+y+z=100      2x+3y+2z≥220 4x+y+2z≥240

由x+y+z=100得，z=100-x-y ①
把①代入两个不等式可得y≥20且2x-y≥40；

（2）因为x=40，y≥20且2x-y≥40，所以20≤y≤40
由题意可得w=40×9+12y+8z
当y=20，z=40时，w有最小值40×9+12×20+8×40=920元；
当y=40，z=20时，w有最大值40×9+12×40+8×20=1000元；
则w的取值范围是920≤w≤1000．
w取最小值时，乙、丙两种食物的质量分别是20千克、40千克．

点评：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．w的取值需要分组讨论得出．