Question

设抛物线y=ax²+bx-2与x轴交于两个不同的点A（-1，0）、B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB=90度．
（1）求m的值和抛物线的解析式；
（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△BDP的外接圆半径等于______

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线的解析式可知C点坐标为（0，-2），即OC=2，由于∠ACB=90度，根据射影定理OC²=OA•AB，可求出AB的长，进而可求出B点的坐标，也就求出了m的值，然后将A、B的坐标代入抛物线中即可求出其解析式．
（2）可先根据抛物线的解析式和直线AE的解析式求出E点和D点的坐标，经过求解不难得出∠FDB=∠DBO=45°，因此本题要分两种情况进行讨论：①∠DPB=∠ABE；②∠PDB=∠ABE．可根据对应的相似三角形得出的成比例线段求出OP的长，进而可求出P点的坐标．
（3）以求△BP₁D的外接圆半径为列进行说明：先作△BPD的外接圆，过P作直径PM，连接DM，那么不难得出△PMD和△FBD相似，可得出，可先求出DP，DF，BD的长，而PM是圆的直径，由此可求出△BPD的外接圆的半径．
解答：解：（1）令x=0，得y=-2，
∴C（0，-2），
∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴△AOC∽△COB，
∴OA•OB=OC²
∴OB=，
∴m=4，
将A（-1，0），B（4，0）代入y=ax²+bx-2，
得，
∴抛物线的解析式为y=x²-x-2．

（2）D（1，n）代入y=x²-x-2，得n=-3，
由，得，，
∴E（6，7），
过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0）
∴AH=EH=7
∴∠EAH=45°
过D作DF⊥x轴于F，则F（1，0）
∴BF=DF=3
∴∠DBF=45°
∴∠EAH=∠DBF=45°
∴∠DBH=135°，
90°＜∠EBA＜135°
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP₁∽△EAB，则
∴BP₁===
∴OP₁=4-=，
∴P₁（，0）．
②若△DBP₂∽△BAE，则
∴BP₂===
∴OP₂=-4=
∴P₂（-，0）．
综合①、②，得点P的坐标为：P₁（，0）或P₂（-，0）．

（3）或．
如图所示：先作△BPD的外接圆，过P作直径PM，连接DM，
∵∠PMD=∠PBD，∠DFP=∠PDM，
∴△PMD和△FBD相似，
∴，
∴PD===，
DF=3，
BD==3，
∴PM==，
∴△BPD的外接圆的半径=；
同理可求出当P点在x轴的负半轴上时，△BPD的外接圆的半径=．
点评：本题考查二次函数解析式的确定、函数图象交点、三角形相似以及△外接圆的半径的求法等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
（要注意区别三角形内切圆和外接圆半径求法的不同：三角形内切圆半径通常用公式法求解．而三角形外接圆半径通常要通过构建相似三角形来求解）．