Question

14．已知O点为坐标原点，抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3．
（1）求点C的坐标；
（2）抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0），x₁?x₂＜0，|x₁|+|x₂|=4．点A，C在直线y₂=-3x+t上．
①求该抛物线的顶点坐标；
②将抛物线y₁=ax²+bx+c（a≠0）向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随x的增大而增大的部分为P，直线y₂=-3x+t向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点，求2n²-5n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O，C两点间的距离为3求出即可；
（2）分别利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，-3），即c=-3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；
（3）利用①若c=3，则y₁=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，y₂=-3x+3，得出y₁向左平移n个单位后，则解析式为：y₃=-（x+1+n）²+4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，
②若c=-3，则y₁=x²-2x-3=（x-1）²-4，y₂=-3x-3，y₁向左平移n个单位后，则解析式为：y₃=（x-1+n）²-4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值．

解答 解：（1）令x=0，则y=c，
故C（0，c），
∵OC的距离为3，
∴|c|=3，即c=±3，
∴C（0，3）或（0，-3）；

（2）∵x₁x₂＜0，
∴x₁，x₂异号，
①若C（0，3），即c=3，
把C（0，3）代入y₂=-3x+t，则0+t=3，即t=3，
∴y₂=-3x+3，
把A（x₁，0）代入y₂=-3x+3，则-3x₁+3=0，
即x₁=1，
∴A（1，0），
∵x₁，x₂异号，x₁=1＞0，∴x₂＜0，
∵|x₁|+|x₂|=4，
∴1-x₂=4，
解得：x₂=-3，则B（-3，0），
代入y₁=ax²+bx+3得，$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{9a-3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴y₁=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴顶点坐标是（-1，4）
则当x≤-1时，y随x增大而增大．
②若C（0，-3），即c=-3，
把C（0，-3）代入y₂=-3x+t，则0+t=-3，即t=-3，
∴y₂=-3x-3，
把A（x₁，0），代入y₂=-3x-3，
则-3x₁-3=0，
即x₁=-1，
∴A（-1，0），
∵x₁，x₂异号，x₁=-1＜0，∴x₂＞0
∵|x₁|+|x₂|=4，
∴1+x₂=4，
解得：x₂=3，则B（3，0），
代入y₁=ax²+bx+3得，$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴y₁=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点坐标是（1，-4），
综上所述，若c=3，抛物线的顶点坐标是（-1，4）；
若c=-3，抛物线的顶点坐标是（1，-4）；

（3）①若c=3，则y₁=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，y₂=-3x+3，
y₁向左平移n个单位后，则解析式为：y₃=-（x+1+n）²+4，
y₂向下平移n个单位后，则解析式为：y₄=-3x+3-n，
要使平移后直线与P有公共点，则当x=-1-n，y₃≥y₄，
即-（-1-n+1+n）²+4≥-3（-1-n）+3-n，
解得：n≤-1，
∵n＞0，∴n≤-1不符合条件，应舍去；
②若c=-3，则y₁=x²-2x-3=（x-1）²-4，y₂=-3x-3，
y₁向左平移n个单位后，则解析式为：y₃=（x-1+n）²-4，
y₂向下平移n个单位后，则解析式为：y₄=-3x-3-n，
要使平移后直线与P有公共点，则当x=1-n，y₃≤y₄，
即（1-n-1+n）²-4≤-3（1-n）-3-n，
解得：n≥1，
综上所述：n≥1，2n²-5n=2（n-$\frac{5}{4}$）²-$\frac{25}{8}$，
∴当n=$\frac{5}{4}$时，2n²-5n的最小值为：-$\frac{25}{8}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及二次函数增减性等知识，利用分类讨论得出n的取值范围是解题关键．