Question

7．如图，抛物线y=-x²+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）点C关于抛物线y=-x²+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可；
（2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可；
（3）分$\frac{DM}{DB}=\frac{BE}{BC}$和$\frac{DM}{DB}=\frac{BC}{BE}$两种情况，计算即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+3=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=3\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），
（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，
∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，
∴点E（2，3），
过点E作EH⊥BC于点H，
∵OC=OB=3，
∴BC=$3\sqrt{2}$，
∵${S_{△BCE}}=\frac{1}{2}BC•EH=\frac{1}{2}CE•OC$，CE=2，
∴$3\sqrt{2}•EH=2×3$，
解得EH=$\sqrt{2}$，
∵∠ECH=∠CBO=45°，
∴CH=EH=$\sqrt{2}$，
∴BH=2$\sqrt{2}$，
∴在Rt△BEH中，$tan∠CBE=\frac{EH}{BH}=\frac{{\sqrt{2}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}$；
（3）当点M在点D的下方时
设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），
∴BP=2，DP=4，
∴$tan∠BDP=\frac{1}{2}$，
∵$tan∠CBE=\frac{1}{2}$，∠CBE、∠BDP均为锐角，
∴∠CBE=∠BDP，
∵△DMB与△BEC相似，
∴$\frac{DM}{DB}=\frac{BE}{BC}$或$\frac{DM}{DB}=\frac{BC}{BE}$，
①$\frac{DM}{DB}=\frac{BE}{BC}$，
∵DM=4-m，$DB=2\sqrt{5}$，$BC=3\sqrt{2}$，$BE=\sqrt{10}$
∴$\frac{4-m}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{{3\sqrt{2}}}$，
解得，$m=\frac{2}{3}$，
∴点M（1，$\frac{2}{3}$）
②$\frac{DM}{DB}=\frac{BC}{BE}$，则$\frac{4-m}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{{\sqrt{10}}}$，
解得m=-2，
∴点M（1，-2），
当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．
综上所述，点M的坐标为（1，$\frac{2}{3}$）或（1，-2）．

点评 本题考查的是二次函数知识的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤、熟记相似三角形的判定定理和性质定理、掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．