Question

如图，矩形ABCD是一个长为1000米、宽为600米的货场，A、D是入口．现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l．
（1）求l的最小值．
（2）请指出当l取最小值时，收费站P和发货站台H的几何位置．

Answer 1

分析：（1）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转60°到矩形AEFG的位置，则矩形内的点P和边BC上的点H随之分别旋转到了点N和点Q，△APN是正三角形，有AP=AN=PN，NQ=PH则L=PD+PA+PH=PD+PN+NQ，即为点D到直线EF的距离，而直线EF是固定的直线，
（2）当辅设公路总长L取最小值时，点Q与H重合，D、P、N、Q四点共线，此时∠APD=120°，继而求得答案．

解答：解：（1）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转60°到矩形AEFG的位置，则矩形内的点P和边BC上的点H随之分别旋转到了点N和点Q，
△APN是正三角形，有AP=AN=PN，NQ=PH则L=PD+PA+PH=PD+PN+NQ，即为点D到直线EF的距离，而直线EF是固定的直线，
∴L的最小值就是点D到定直线EF的距离DM．
可计算L的最小值=DM=（500

3

+600）m．
（2）当辅设公路总长L取最小值时，点Q与H重合，D、P、N、Q四点共线，此时∠APD=120°，
∵∠DAG=60°，∴∠ADM=30°，故∠DAP=180°-120°-30°=30°．
于是，收费站P的几何位置在以AD为底边、两底角为30°的等腰三角形的顶点处，H即为BC的中点处．

点评：本题主要考查几何问题的最值的知识点，解答本题的关键是根据题意列出函数关系式，此题难度较大．