如图.菱形ABCD的边长为20cm.∠ABC＝120°．动点P.Q同时从点A出发.其中P以4cm/s的速度.沿A→B→C的路线向点C运动,Q以2cm/s的速度.沿A→C的路线向点C运动．当P.Q到达终点C时.整个运动随之结束.设运动时间为t秒．小题1:(1)在点P.Q运动过程中.请判断PQ与对角线AC的位置关系.并说明理由,小题2:(2)点Q关于菱形ABCD的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本题满分12分）如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．

小题1:（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
小题2:（2）点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

小题1:

小题2:

分析：（1）此问需分两种情况，当0＜t≤5及5＜t≤10两部分分别讨论得PQ⊥AC．
（2）①由于点P、M、N在一直线上，则AQ+QM=AM，代入求得t的值．
②假设存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形，但是需分点N在AD上时和点N在CD上时两种情况分别讨论．
解答：解：（1）若0＜t≤5，则AP=4t，AQ=2

t．
则

，
又∵AO=10

，AB=20，∴

．
∴

．又∠CAB=30°，∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
当5＜t≤10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC=90°，即PQ⊥AC．
∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．
（2）①如图，在Rt△APM中，∵∠PAM=30°，AP=4t，
∴AM=

．
在△APQ中，∠AQP=90°，
∴AQ=AP?cos30°=2

t，
∴QM=AC-2AQ=20

-4

t．
由AQ+QM=AM得：2

t+20

-4

，
解得t=

．
∴当t=

时，点P、M、N在一直线上．

②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．
设l交AC于H．
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH=30°．
∴MH=2NH．得20

-4

t=2×

，解得t=2．
如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP=30°．
∴MH=2PH，同理可得t=

．
故当t=2或

时，存在以PN为一直角边的直角三角形．

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