Question

13．P为?ABCD外一点，∠APC=∠BPD=90°，求证：?ABCD为矩形．

Answer 1

分析 连接PO，首先根据O为BD和AC的中点，在Rt△APC中PO=$\frac{1}{2}$AC，在Rt△PBD中，PO=$\frac{1}{2}$BD，进而得到AC=BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．

解答 证明：连接PO．

∵O是AC、BD的中点，
∴AO=CO，BO=DO．
∵在Rt△PBD中，O为BD中点，
∴PO=$\frac{1}{2}$BD．
∵在Rt△APC中，O为AC中点，
∴PO=$\frac{1}{2}$AC．
∴AC=BD．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形．

点评 此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确的作出辅助线是解决本题的另一个关键点．