Question

19．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=4，BD⊥AC于点D，E是AB的中点，连接CE，交BD于点M，点F在AC上，连接EF，过点E作EN∥BD，交AC于点N．若∠FEC=90°，则$\frac{EM}{EF}$的值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 首先根据勾股定理和三角形的面积求出AC，BD，根据平行线等分线段定理求得AE=BE=$\frac{1}{2}AB$=3，EN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，再根据平行线分线段成比例得到比例式，求出EM=$\frac{45}{17}$，再根据三角形相似求出EF=$\frac{30}{17}$，问题即可得证．

解答 解：∵∠ABC=90°，AB=6，BC=4，
∴AC=$\sqrt{13}$，∵BD⊥AC，
∴BD=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$，
在R_t△BDC中，CD=$\sqrt{{BC}^{2}{-BD}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$，
∵EN∥BD，
∴EN⊥AC，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}AB$=3，
∴EN=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，
在R_t△BEC中，BE=3，BC=4，
∴CE=5，
∵$\frac{CM}{EN}=\frac{CD}{DN}$，
∴$\frac{5-EM}{EM}=\frac{\frac{8\sqrt{13}}{13}}{\frac{9\sqrt{13}}{13}}$=$\frac{8}{9}$，
∴EM=$\frac{45}{17}$，
∴CM=$\frac{40}{17}$，
∵∠A=∠CBD，
∴∠AFE=90°+∠FCE，
∠BMC=90°+∠FCE，
∴∠AFE=∠BNC，
∴△AEF∽△BCM，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{EF}{CM}$，
∴$\frac{3}{4}=\frac{EF}{\frac{40}{17}}$，
∴EF=$\frac{30}{17}$，
∴$\frac{EM}{EF}=\frac{\frac{40}{17}}{\frac{30}{17}}$=$\frac{3}{2}$，
故选A．

点评 本题考查了直角三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，注意数形结合思想的运用．