Question

8．如图所示，在平面直角坐标系中，点C在y轴上，点B在x轴上，∠CBO=60°，过点C作CA垂直CB交x轴于点A，点B坐标为（2，0）．
（1）求点A坐标；
（2）点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿射线BC运动，过点P作x轴的平行线交直线AC于点D，设点P运动时间为t，线段PD长度为d，试用含t的代数式表示d；
（3）在（2）的条件下，当点P在BC延长线上时，连接AP，在线段CD上取点E，连接OE，使OE=AP，当∠CEO+∠PAB=90°时，求d的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，根据直角三角形30度角性质，可知BC=2OB，AB=2BC，求出OA即可解决问题．
（2）分两种情形①如图2中，当0＜t≤2时，②如图3中，当t＞2时，分别求解即可．
（3）如图4中，作AN⊥DP交DP的延长线于N，OM⊥AD于M．首先证明△ANP≌△EMO，推出PN=OM，再由$\frac{1}{2}$•AC•OM=$\frac{1}{2}$•OA•OC，求出OM=$\frac{2\sqrt{3}•6}{4\sqrt{3}}$=3，PN=3，推出点P的横坐标为-3，求出点P（-3，5$\sqrt{3}$），PB=$\sqrt{（-3-2）^{2}+（5\sqrt{3}）^{2}}$=10，t=5，根据（2）中的结论即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵CA⊥CB，
∴∠ACB=90°，
∵∠CBO=60°，∠BOC=90°，
∴∠A=∠BCO=30°，∵B（2，0），
∴OB=2，BC=2OB=4，AB=2BC=8，
∴OA=AB-OB=6，
∴A（-6，0）．

（2）①如图2中，当0＜t≤2时，

在RT△DPC中，∵∠DCP=90°，DP∥AB，
∴∠CDP=∠A=30°，
∴d=DP=2PC=2（4-2t）=8-4t．
②如图3中，当t＞2时，

在Rt△PCD中，同理可得d=PD=2PC=2（2t-4）=4t-8，
综上所述，d=$\left\{\begin{array}{l}{8-4t}&{（0＜t≤2）}\\{4t-8}&{（t＞2）}\end{array}\right.$．

（3）如图4中，作AN⊥DP交DP的延长线于N，OM⊥AD于M．

∵∠CEO+∠PAB=90°，∠PAB+∠NAP=90°，
∴∠PAN=∠OEM，∵AP=OE，∠ANP=∠OME=90°，
∴△ANP≌△EMO，
∴PN=OM，
∵$\frac{1}{2}$•AC•OM=$\frac{1}{2}$•OA•OC，
∴OM=$\frac{2\sqrt{3}•6}{4\sqrt{3}}$=3，
∴PN=3，
∴点P的横坐标为-3，
∵B（2，0），C（0，2$\sqrt{3}$），
∴直线BC的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∴P（-3，5$\sqrt{3}$），
∴PB=$\sqrt{（-3-2）^{2}+（5\sqrt{3}）^{2}}$=10，
∴t=5，
∴d=4t-8=20-8=12．

点评 本题考查三角形综合题、直角三角形30度角性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用面积法求线段的长，属于中考压轴题．