Question

【题目】如图1，在锐角△ABC中，AB=5，tanC=3，BD⊥AC于点D，BD=3，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动，过点P作PE∥AC交边BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF=90°，点F在点P的下方，且EF∥AB．设△PEF与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位）（S＞0），点P的运动时间为t（秒）（t＞0）．

（1）直接写出线段AC的长为 ．

（2）当△PEF与△ABD重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

（3）若边EF所在直线与边AC交于点Q，连结PQ，如图2，

①当PQ将△PEF的面积分成1:2两部分时，求AP的长．

②直接写出△ABC的某一顶点到P、Q两点距离相等时t的值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）当时，；当时，；

（3）① ，； ②，，．

【解析】

（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD．在Rt△BDC中，求出CD即可．

（2）分2种情形求解：如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是四边形PMDN．如图2中，当t＜5时，重叠部分是四边形PNMF．

（3）①分两种情形，分别构建方程即可解决问题；

②分三种情形：如图5中，当PQ的垂直平分线经过当A时．根据PE=PA，可得t=5﹣t解决问题．如图6中，当PQ的垂直平分线经过点B时，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．在Rt△BQD中，根据BQ2=QD2+BD2，列出方程即可解决问题．如图7中，当PQ的垂直平分线经过点B时，连接PC，延长PF交AC于G．想办法证明PA=PC即可解决问题．

（1）在Rt△ABD中，∠BDA=90°，AB=5，BD=3，∴AD4．在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BD=3，tanc=3，∴CD1，∴AC=AD+CD=4+1=5．

（2）①如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是四边形PMDN．

易知PA=t，AMt，PMt，DM=4t，∴St（4t）t2t．

②如图2中，当t＜5时，重叠部分是四边形PNMF．

∵AB=5，AC=AD+CD=4+1=5，∴AC=AB，易证PB=PE=5﹣t，PF（5﹣t），PN（5﹣t），S（5﹣t）（5﹣t）（5﹣t）（5﹣t）（5﹣t）2．

∴当时，；当时，；

（3）①如图3中，PF交AC于G．

当S△PFQ：S△PEQ=1：2时，∴S△PEQ：S△PEF=2：3，∴PEPG：PEPF=2：3，∴PG：PF=2：3，∴t：（5﹣t）=2：3，∴t，即AP．

如图4．

当S△PFQ：S△PEQ=2：1时，∴S△PEQ：S△PEF=1：3，∴PEPG：PEPF=1：3，∴PG：PF=1：3，∴t：（5﹣t）=1：3，∴t，即AP．

综上所述：AP的值为或．

②如图5中，当PQ的垂直平分线经过当A时．

易知四边形APEQ时菱形，∴PE=PA，即t=5﹣t，∴t．

如图6中，当PQ的垂直平分线经过点B时，作EN⊥AC于N，EP交BD于M．

易知四边形PENG时矩形，四边形DMEN时矩形，∴PG=ENt，EM=DN=PE﹣PM（5﹣t），QNENt，∴QD=4﹣（5﹣t）=t﹣1．在Rt△BQD中，∵BQ2=QD2+BD2，∴（5﹣t）2=32+（t﹣1）2，∴/span>t．

如图7中，当PQ的垂直平分线经过点B时，连接PC，延长PF交AC于G．

∵PB=PE=5﹣t，PF（5﹣t），PGt，CG=5t，∴FG=PG﹣PFt（5﹣t）t，∴GQFGt﹣5，∴CP=CQ=GQ+CGt﹣5+5t=t，∴PA=PC．

∵PG⊥AC，∴AG=CG，∴t=PAAG．

综上所述：ts或s或s时，PQ的垂直平分线经过△ABC的顶点．