Question

8．如图，已知抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（4，4）、B（2，-2）两点，与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，若线段PC绕点P旋转90°后，点C的对应点C′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标；
（3）如图，若点N在抛物线上，且∠NAO=∠CAO，求出所有满足△POB～△NOA的点P坐标（点P、O、B分别与点N、O、A对应）

Answer 1

分析 （1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（2）将PC绕着点P逆时针旋转90°，过点C′作C′D⊥抛物线的对称轴，垂足为D．设P（$\frac{3}{2}$，a），然后证明△DPC′≌△ECP，从而得到点C′的坐标为（1.5+a，1.5+a），将点C′的坐标代入抛物线的解析式求解即可；将PC绕着点P顺时针旋转90°．然后证明△DPC′≌△ECP，从而得到点C′的坐标为（1.5-a，a-1.5）．将点C′的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
（3）BN交y轴与点A′，作△OBN关于x轴对称的△OB₁N₁，过点D作DP₁∥B₁N₁，作P₁关于OD的对称点P₂．先求得点A′的坐标，然后再证明△OBA′≌△OBA，于是得到A′（0，3），然后求得BA′的解析式，再求得点N的坐标，然后依据关于x轴对称点的坐标特点可求得点N₁的坐标，然后可证明P₁为ON₁的中点，故此可得到P₁的坐标，然后利用对称性可求得P₂的坐标．

解答 解：（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=4}\\{4a+2b=-2}\end{array}\right.$，
解得：得a=1，b=-3．
∴抛物线的解析式为y=x²-3x．

（2）如图1所示：将PC绕着点P逆时针旋转90°，过点C′作C′D⊥抛物线的对称轴，垂足为D．

抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$，设P（$\frac{3}{2}$，a）．
∵∠CPC′=90°，
∴∠DPC′+∠CPE=90°．
又∵∠DPC′+∠C′=90°，
∴∠CPE=∠C′．
在△DPC′和△ECP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CPE=∠C′}\\{∠D=∠E}\\{PC′=PC}\end{array}\right.$，
∴△DPC′≌△ECP．
∴PE=DC′，DP=EC=1.5．
∴点C′的坐标为（1.5+a，1.5+a）．
又因为点C′在抛物线上，
∴1.5+a=（1.5+a）²-3（1.5+a），解得a=-1.5或a=2.5．
∴点P的坐标为（1.5，-1.5）或（1.5，2.5）．
如图2所示：将PC绕着点P顺时针旋转90°．

∵∠CPC′=90°，
∴∠DPC′+∠CPE=90°．
又∵∠DPC′+∠C′=90°，
∴∠CPE=∠C′．
在△DPC′和△ECP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CPE=∠C′}\\{∠D=∠E}\\{PC′=PC}\end{array}\right.$，
∴△DPC′≌△ECP．
∴PE=DC′，DP=EC=1.5．
∴点C′的坐标为（1.5-a，a-1.5）．
又因为点C′在抛物线上，
∴a-1.5=（1.5-a）²-3（1.5-a），解得a=1.5或a=-0.5．
∴点P的坐标为（1.5，1.5）或（1.5，-0.5）．
综上所述，点P的坐标为（1.5，-1.5）或（1.5，2.5）或（1.5，1.5）或（1.5，-0.5）．

（3）如图3所示：AN交y轴与点A′，作△OAN关于x轴对称的△OB₁N₁，过点B作BP₁∥B₁N₁，作P₁关于OB的对称点P₂．

令y=0得：x²-3x=0，解得：x=0或x=3，
∴C（3，0）．
∵点A的坐标为（4，4），
∴∠A′O=∠COA=45°．
在△OAA′和△OCA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A′OA=∠COA}\\{OA=OA}\\{∠A′AO=∠CAO}\end{array}\right.$，
∴△OAA′≌△OAC．
∴OC=OA′=3．
∴A′（0，3）．
设直线A'A的解析式为y=kx+3，过点A（4，4），
∴4k+3=4，解得：k=$\frac{1}{4}$．
∴直线A'A的解析式是y=$\frac{1}{4}$x+3．
∵∠NAO=∠CAO，
∴点N在直线A'B上，
∴设点N（n，$\frac{1}{4}$n+3），
又点N在抛物线y=x²-3x上，
∴$\frac{1}{4}$n+3=n²-3n，解得：n₁=-$\frac{3}{4}$，n₂=4（与B重合，不合题意，会去），
∴点N的坐标为（-$\frac{3}{4}$，$\frac{45}{16}$）．
将△NOA沿x轴翻折，得到△N₁OB₁，则N₁（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{45}{16}$），B₁（4，-4），
∴O、B、B₁都在直线y=-x上
∵△P₁OB∽△NOA，
∴△P₁OB∽△N₁OB₁，
∴P₁为O N₁的中点．
∴点P₁的坐标为（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）．
将△P₁OB沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P₁到y轴距离，点到y轴距离等于P₁到x轴距离，
∴此点坐标为（ $\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$）．
综上所述，点P的坐标是（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）或（ $\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质、旋转的性质、相似三角形的性质，利用a的式子表示出点C′的坐标是解答问题（2）的关键；通过作辅助线确定点P的位置解答问题（3）的关键．