Question

19．如图，抛物线经过点B（0，1），顶点A在x轴正半轴上，tan∠BAO=$\frac{1}{2}$．
（1）求该抛物线所对应的关系式；
（2）若点C在（1）中抛物线上，以BC为直径的⊙M恰好过顶点A，求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点B作BC的垂线m，若过点C的直线交直线m于点E，且△CAB∽△CBE，试求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ABO中利用正切的定义可计算出OA，从而得到A点坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）设C（t，$\frac{1}{4}$t²-t+1），作CH⊥x轴与H，如图，讨论：以BC为直径的⊙M恰好过顶点A，当点C在A点时，易得P点坐标为（2，0）；当C点不在A点时，利用圆周角定理得到∠BAC=90°，然后证明Rt△ABO∽△RtCAH，利用相似比得到关于t的方程，再解方程求出t即可；
（3）显然点C（2，0）不符合要求，C点坐标取（10，16），作CG⊥y轴于G，直线m交x轴于D，如图，则通过证明Rt△CBG∽Rt△BDO，利用相似比计算出OD得到D（$\frac{3}{2}$，0），再利用待定系数法求出直线m的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+1；延长CA交直线m于点E，如图，易得△CAB∽△CBE，此时E点满足条件，于是利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=2x-4，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{3}x+1}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$得E点坐标为（$\frac{15}{8}$，-$\frac{1}{4}$）；作∠E′CB=∠ECB交直线m于E′，如图，则点E′与点E关于B点对称，显然△CAB∽△CBE′，点E′的横坐标为-$\frac{15}{8}$，利用直线m的解析式可确定E′点的坐标，从而得到满足条件的E点坐标．

解答 解：（1）在Rt△ABO中，∵∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，
∴OA=2OB=2，
∴A（2，0），
设抛物线解析式为y=a（x-2）²，
把B（0，1）代入得a（0-2）²=1，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-2）²，即y=$\frac{1}{4}$x²-x+1；
（2）设C（t，$\frac{1}{4}$t²-t+1），作CH⊥x轴与H，如图，
以BC为直径的⊙M恰好过顶点A，当点C在A点时，此时P点坐标为（2，0），
当C点不在A点时，则∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAH=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠AB0=∠CAH，
∴Rt△ABO∽△RtCAH，
∴OB：AH=OA：CH，即1：（t-2）=2：（$\frac{1}{4}$t²-t+1），
整理得t²-12t+20=0，解得t₁=2（舍去），t₂=10，此时P点坐标为（10，16），
综上所述，满足条件的P点坐标为（2，0）或（10，16）；
（3）点C（2，0）不符合要求，C点坐标取（10，16），
作CG⊥y轴于G，直线m交x轴于D，如图，
∵BD⊥BC，
∴∠GBC+∠OBD=90°，
∵∠GBC+∠BCG=90°，
∴∠OBD=∠BCG，
∴Rt△CBG∽Rt△BDO，
∴CG：OB=BG：OD，即10：1=15：OD，解得OD=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，0），
设直线m的解析式为y=kx+b，
把B（0，1），D（$\frac{3}{2}$，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{3}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线m的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+1，
延长CA交直线m于点E，如图，
∵∠BAC=90°，CB⊥BE，
∴∠CBE=∠BAC，
而∠BCA=∠ECB，
∴△CAB∽△CBE，
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（2，0），C（10，16）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2p+q=0}\\{10p+q=16}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=2}\\{q=-4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=2x-4，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{3}x+1}\\{y=2x-4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{15}{8}}\\{y=-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，此时E点坐标为（$\frac{15}{8}$，-$\frac{1}{4}$）；
作∠E′CB=∠ECB交直线m于E′，如图，
∵CB⊥EE′，
∴BE′=BE，
∴点E′与点E关于B点对称，△CAB∽△CBE′，
∴点E′的横坐标为-$\frac{15}{8}$，
当x=-$\frac{15}{8}$时，y=-$\frac{2}{3}$x+1=-$\frac{2}{3}$×（-$\frac{15}{8}$）+1=$\frac{9}{4}$，此时E′的坐标为（-$\frac{15}{8}$，$\frac{9}{4}$），
综上所述，满足条件的E点坐标为（$\frac{15}{8}$，-$\frac{1}{4}$）或（-$\frac{15}{8}$，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；学会构建相似三角形，利用相似比计算线段的长；能运用分类讨论的思想解决数学问题．