Question

（2013•济南一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．
（1）求AC、BC的长；
（2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm²），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式；
（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC是否相似，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；
（2）分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析，首先过点Q作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；
（3）由PQ⊥AB，可得△APQ∽△ACB，由相似三角形的对应边成比例，求得△PBQ各边的长，根据相似三角形的判定，即可得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似．

解答：解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即：（4x）²+（3x）²=10²，
解得：x=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）分两种情况：
①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H．
∵AP=x，∴BP=10-x，BQ=2x，
∵△QHB∽△ACB，
∴

QH

AC

=

QB

AB

，
∴QH=

8

5

x，
y=

1

2

BP•QH=

1

2

（10-x）•

8

5

x
=-

4

5

x²+8x（0＜x≤3），
②当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=x，
∴BP=10-x，AQ=14-2x，
∵△AQH′∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

QH′

BC

，
即：

14-2x

10

=

QH′

6

，
解得：QH′=

3

5

（14-2x），
∴y=

1

2

PB•QH′=

1

2

（10-x）•

3

5

（14-2x）
=

3

5

x²-

51

5

x+42（3＜x＜7）；

（3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似．理由如下：
∵AP=x，
∴AQ=14-2x，
∵PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ACB，
∴

AP

AC

=

AQ

AB

=

PQ

BC

，
即：

x

8

=

14-2x

10

=

PQ

6

，
解得：x=

56

13

，PQ=

42

13

，
∴PB=10-x=

74

13

，
∴

PQ

PB

=

42 13

74 13

=

21

37

≠

BC

AC

，
∴当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC不相似．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．