Question

16．如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-1，0）
（1）求抛物线的解析式，以及B、C两点的坐标；
（2）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析 （1）根据对称轴公式和将A的坐标代入列方程组求出b和c，写出抛物线的解析式，再根据坐标特点求与x轴和与y轴坐标的交点，可得B、C两点的坐标；
（2）首先利用勾股定理得出BC的长，由外接圆的定义易得过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度，可得圆的半径，利用圆的面积公式可得圆的面积．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2}=2}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=x²-4x-5，
当y=0时，x²-4x-5=0，
（x+1）（x-5）=0，
x₁=-1，x₂=5，
∴A（-1，0），B（5，0），
当x=0时，y=-5，
∴C（0，-5），
∴抛物线解析式为y=x²-4x-5，B点坐标为（5，0），C点坐标为（0，-5）；

（2）连接BC，则△OBC是直角三角形，
∴过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度，
在Rt△OBC中，OB=OC=5，
∴BC=5$\sqrt{2}$，
∴圆的半径为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴圆的面积为π（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{25}{2}$π．

点评 本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式及与坐标轴点的坐标，明确①与x轴交点：把y=0代入解析式，②与y轴交点，把x=0代入解析式是解答此题的关键．