Question

如图，在△ABC中，AB=BC，BF平分∠ABC，连接AF，CF，作DC∥AF交AB于D．求证：CA平分∠DCF．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：根据BF平分∠ABC?∠ABF=∠CBF，再加上AB=BC，BF=BF就可以推出△ABF≌△CBF，依据全等三角形对应边相等的性质可以推出AF=CF，从而可以推出∠FCA=∠FAC；依据平行线的性质可以得出内错角∠FAC、∠DCA相等，等量代换后，就可推出CA平分∠DCF．

解答：证明：如图．
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF．
在△ABF与△CBF中，

AB=AB ∠ABF=∠CBF BF=BF

，
∴△ABF≌△CBF（SAS）．
∴AF=CF，
∴∠FCA=∠FAC，
∵AF∥DC，
∴∠FAC=∠DCA．
∴∠FCA=∠DCA，即CA平分∠DCF．

点评：主要考查全等三角形的判定定理，全等三角形的性质、等腰三角形的性质，根据条件很容易就可得出AF=CF，继而推出∠FCA=∠FAC，结合两直线平行内错角相等的性质，很容易就可以得出（2）中的结论．