Question

点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作△ABE和△BCF，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN，MN．
（1）若△ABE和△FBC是等腰直角三角形，且∠ABE=∠FBC=90°（图1），则△MBN是

 

三角形；
（2）在△ABE和△BCF中，若BA=BE，BC=BF，且∠ABE=∠FBC=α，（图2），则△MBN是

 

三角形，且∠MBN=

 

；
（3）若将（2）中的△ABE绕点B旋转一定角度，（图3），其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明．

Answer 1

分析：（1）根据题意可知△ABF，△EBC的关系可看作△EBC是由△ABF绕点B顺时针旋转90度得到的，所以BM=BN，BM⊥BN，即△MBN是等腰直角三角形；
（2）根据题意可知△ABF≌△EBC，根据全等三角形的性质可知对应中线相等，所以MB=NB，即△MBN是等腰三角形，所以△BMN∽△BEA，则∠MBN=∠ABE=∠FBC=α；
（3）结论仍然成立，先根据条件证明△ABF≌△EBC，得到AF=CE．∠AFB=∠ECB，从而证明△MFB≌△NCB，所以BM=BN，∠MBF=∠NBC，则∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α．

解答：解：（1）∵BM=BN，BM⊥BN，
∴△MBN是等腰直角三角形；

（2）∵∠ABE=∠FBC=α，
∴∠ABF=∠EBC，
又∵BA=BE，BC=BF，
∴△ABF≌△EBC，
∴MB=NB，即△MBN是等腰三角形，
∴△BMN∽△BEA，则∠MBN=∠ABE=∠FBC=α；

（3）结论仍然成立．
证明：在△ABF和△EBC中，

BA=BE ∠ABF=∠EBC BF=BC

（SAS），
∴△ABF≌△EBC，
∴AF=CE，∠AFB=∠ECB．
∵M，N分别是AF、CE的中点，
∴FM=CN，
∴△MFB≌△NCB，
∴BM=BN，∠MBF=∠NBC，
∴∠MBN=∠MBF+∠FBN=∠FBN+∠NBC=∠FBC=α．

点评：主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．