Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=

5

6

x²+bx+c经过点A、B．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC以1cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
①移动开始后，是否存在某一时刻t，使得以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．
②移动开始后第t秒时，设S=PQ²（cm²），当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）若此抛物线上有一点D（3，

1

2

），在抛物线的对称轴上求点M，使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的四条边都相等写出点A、B的坐标，然后代入抛物线解析式得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值即可得解；
（2）表示出AP、BP、BQ的长，①然后分（i）OA与BP是对应边，（ii）OA与BQ是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可；
②根据勾股定理表示出S，然后利用二次函数的最值问题确定出S取最小值时的t值，然后求出BP、BQ的值，再分（i）BP为对角线，（ii）BQ为对角线两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等求出点R的坐标，然后把点R的坐标代入抛物线，如果点R在抛物线上则，存在，否则不存在；
（3）根据三角形的任意两边之差小于第三边判断出当点M为抛物线对称轴与直线AD的交点时，M到D、A的距离之差最大，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出直线AD的解析式，再求两直线的交点即可．

解答：解：（1）∵正方形OABC的边长为2cm，
∴点A（0，-2），B（2，-2），
∴

c=-2 5 6 ×4+2b+c=-2

，
解得

b=- 5 3 c=-2

，
∴抛物线的表达式为y=

5

6

x²-

5

3

x-2；

（2）移动t秒时，AP=2t，BP=2-2t，BQ=t，
①（i）OA与BP是对应边时，∵以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似，
∴

OA

BP

=

AP

BQ

，
即

2

2-2t

=

2t

t

，
解得t=

1

2

，
（ii）OA与BQ是对应边时，∵以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似，
∴

OA

BQ

=

AP

BP

，
即

2

t

=

2t

2-2t

，
解得t=-1+

3

，t=-1-

3

（舍去），
综上所述，当t=

1

2

或-1+

3

时，以O、A、P为顶点的三角形与△BPQ相似；
②根据勾股定理，S=PQ²=BP²+BQ²=（2-2t）²+t²=5t²-8t+4，
所以，当t=-

-8

2×5

=

4

5

时，S有最小值，
此时BP=2-2t=2-2×

4

5

=

2

5

，BQ=t=

4

5

，
（i）当BP为对角线时，根据平行四边形的对边平行且相等，
点R的横坐标为2t=

8

5

，
纵坐标为-（2+

4

5

）=-

14

5

，
此时，

5

6

×（

8

5

）²-

5

3

×

8

5

-2=

32

15

-

40

15

-2=-

38

15

≠-

14

5

，
点R不在抛物线上，所以，此时不成立，
（ii）BQ为对角线时，根据平行四边形的对边平行且相等，
点R的横坐标为2+

2

5

=

12

5

，
纵坐标为-（2-

4

5

）=-

6

5

，
此时，

5

6

×（

12

5

）²-

5

3

×

12

5

-2=

24

5

-4-2=-

6

5

，
点R在抛物线上，
所以，点R的坐标为（

12

5

，-

6

5

）；

（3）根据三角形三边关系，|MA-MD|＜DA，
所以，当点M为直线AD与对称轴交点时，M到D、A的距离之差最大，
此时，设直线AD的解析式为y=kx+b，
则

b=-2 3k+b= 1 2

，
解得

k= 5 6 b=-2

，
所以，直线AD的解析式为y=

5

6

x-2，
∵抛物线y=

5

6

x²-

5

3

x-2的对称轴为x=-

- 5 3

2× 5 6

=1，
∴y=

5

6

×1-2=-

7

6

，
∴点M的坐标为（1，-

7

6

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，主要涉及正方形的性质，待定系数法求函数解析式（二次函数解析式与直线解析式），相似三角形对应边成比例的性质，平行四边形的性质，三角形的三边关系，分情况讨论的思想，综合性较强，难度较大，但只要仔细分析认真求解，也不难解答．