Question

（2007•东城区二模）已知抛物线C₁如图1所示，现将C₁以y轴为对称轴进行翻折，得到新的抛物线C₂．
（1）求抛物线C₂的解析式；
（2）在图1中，将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，请直接（不需要写过程）写出矩形的周长；
（3）如图2，若抛物线C₁的顶点为M，点P为线段BM上一动点（不与点M、B重合），PN⊥x轴于N，请求出PC+PN的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据图象求出点A、B关于y轴的对称点，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）分①AO、CO为一边时，矩形的长与宽分别是CO、AO，然后根据矩形的周长公式列式计算即可得解，②AC为一边时，先根据勾股定理求出AC的长度，再利用三角形的面积求出点O到AC的长度，即为矩形的宽，然后根据矩形的周长公式列式计算即可得解；
（3）作点C关于直线BM的对称点C′，过C′作C′N⊥x轴交BM于点P，此时PC+PN最小，然后对称性求出抛物线C₁的解析式，再求出点M的坐标，然后利用待定系数法求直线解析式求出BM的解析式，再根据互相相垂直的直线的解析式的k值互为负倒数求出直线CC′的解析式，与直线BM的解析式联立求出交点坐标，然后根据中点坐标公式求出点C′的纵坐标，绝对值即为PC+PN的最小值．

解答：解：（1）根据图形，点A、B关于y轴的对称点分别为（1，0）（-2，0），点C的坐标为（0，-2），
设抛物线C₂的解析式为y=ax²+bx+c，
则

a+b+c=0 4a-2b+c=0 c=-2

，
解得

a=1 b=1 c=-2

，
所以，抛物线C₂的解析式为y=x²+x-2；

（2）①AO、CO为一边时，都是以CO、AO为长与宽的矩形，
∵A（-1，0）C（0，-2），
∴AO=1，CO=2，
∴周长为：2（1+2）=2×3=6，
②AC为一边时，根据勾股定理，AC=

AO2+CO2

=

12+22

=

5

，
根据三角形的面积，设点O到AC的距离为h，则

1

2

×

5

•h=

1

2

×1×2，
解得h=

2 5

5

，
所以，周长为2（

5

+

2 5

5

）=

14 5

5

；

（3）根据轴对称与最短距离问题，作点C关于直线BM的对称点C′，过C′作C′N⊥x轴交BM于点P，此时PC+PN最小，
根据对称性，抛物线C₁的解析式为y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
所以，顶点M的坐标为（

1

2

，-

9

4

），
设直线BM的解析式为y=kx+b，
则

1 2 k+b=- 9 4 2k+b=0

，
解得

k= 3 2 k=-3

，
所以，直线BM的解析式为y=

3

2

x-3，
∵直线CC′与直线BM垂直，且经过点C（0，-2），
∴直线CC′的解析式为y=-

2

3

x-2，
联立

y= 3 2 x-3 y=- 2 3 x-2

，
解得

x= 6 13 y=- 30 13

，
∴交点坐标，即CC′的中点坐标为（

6

13

，-

30

13

），
根据中点坐标，C′的纵坐标为2×（-

30

13

）-（-2）=-

60

13

+2=-

34

13

，
∵|-

34

13

|=

34

13

，
∴PC+PN的最小值为

34

13

．

点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用轴对称求最短距离，以及中点坐标公式，（3）中利用互相垂直的直线的解析式的k值互为负倒数求出CC′的直线是解题的关键，也是本题的难点．