Question

如图，AB是⊙O的直径，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．

（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）如果∠BDE＝60°，PD＝，求PA的长．

Answer 1

（1）连接OD，先根据圆的基本性质可得∠ADO＝∠PBD，再由∠PDA＝∠PBD可得∠PBD＝∠BDO，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°即∠ADO＋∠BDO＝90°，即可证得结论；（2）1

试题分析：（1）连接OD，先根据圆的基本性质可得∠ADO＝∠PBD，再由∠PDA＝∠PBD可得∠PBD＝∠BDO，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°即∠ADO＋∠BDO＝90°，即可证得结论；
（2）先证得△AOD是等边三角形，即可得到∠P＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质可得PD＝2DO，在Rt△POD中，设OD＝AO＝x，根据勾股定理即可列方程求得x的值，从而得到结果.
（1）连接OD，

∵OB＝OD，
∴∠ADO＝∠PBD.
又∵∠PDA＝∠PBD，
∴∠PBD＝∠BDO.
又∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°即∠ADO＋∠BDO＝90°，
∴∠ADO＋∠PDA＝90°即OD⊥PD
∴PD是⊙O的切线． 
（2）∵∠BDE＝60°，∠ODE＝90°，
∴∠BDO＝30°，
∵∠ADO＋∠BDO＝90°，
∴∠ADO＝60°．
∴△AOD是等边三角形
∴∠POD＝60°，
∵OD⊥PD，
∴∠P＝30°，
∴PD＝2DO．
在Rt△POD中，设OD＝AO＝x，则，
∴，解得，（不合题意，舍去），
∴AO＝1，PO＝2，
∴PA＝PO－AO＝1．
点评：此类问题知识点较多，综合性较强，是中考常见题，一般难度不大.