Question

设m，n为整数，则方程x²+10mx+5n+3=0和方程x²+10mx+5n-3=0必定（ ）
A．至少有一个有整数根
B．均无整数根
C．仅有一个有整数根
D．均有整数根

Answer 1

【答案】分析：先计算两个方程的根的判别式△_1，2=4[5（5m²-n）±3]，而5（5m²-n）的个位数字只能是0或5，得到4[5（5m²-n）±3]的个位数字只能是2或8；而任何一个完全平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9之一，因此当m，n为整数时，4[25（m²-n）±3]都不是完全平方数，于是，这两个方程均无有理根，当然两个方程均无整数根．
解答：解：∵△_1，2=4[5（5m²-n）±3]，
而5（5m²-n）的个位数字只能是0或5．
∴4[5（5m²-n）±3]的个位数字只能是2或8；
而任何一个完全平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9之一，
∴当m，n为整数时，4[5（5m²-n）±3]都不是完全平方数，于是，这两个方程均无有理根，
所以两个方程均无整数根，
故选B．
点评：本题考查了一元二次方程有有理根的条件：△=b²-4ac为完全平方数．也考查了完全平方数末位数的特点．