Question

7．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′=$\left\{\begin{array}{l}{x-y（当x≥y时）}\\{y-x（当x＜y时）}\end{array}\right.$，那么称点Q为点P的“关联点”．
（1）请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标（3，2）；
（2）如果点P在函数y=x-2的图象上，其“关联点”Q与点P重合，求点P的坐标；
（3）如果点M（m，n）的“关联点”N在函数y=2x²的图象上，当0≤m≤2时，求线段MN的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据关联点的定义，可得答案；
（2）根据关联点的定义，可得Q点的坐标，根据点在函数图象上，可得方程，根据解方程，可得答案；
（3）根据关联点的定义，可得N的坐标，根据平行于y的直线上两点间的距离，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案

解答 解：（1）∵3＜5，根据关联点的定义，
∴y′=5-3=2，
点（3，5）的“关联点”的坐标（3，2），
故答案为：（3，2）；

（2）∵点P在函数y=x-2的图象上，
∴点P的坐标为（x，x-2）．
∵x＞x-2，根据关联点的定义，点Q的坐标为（x，2）．
又∵点P与点Q重合，
∴x-2=2，解得x=4，
∴点P的坐标是（4，2）；

（3）点M（m，n）的“关联点”N，由关联点的定义，得
第一种情况：当m≥n时，点N的坐标为（m，m-n），
∵N在函数y=2x²的图象上，
∴m-n=2m²，n=-2m²+m，即y_M=-2m²+m，y_N=2m²，
∴MN=|y_M-y_N|=|-4m²+m|，
①当0≤m≤$\frac{1}{4}$，-4m²+m＞0，
MN=-4m²+m=-4（m-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{1}{16}$，
∴当m=$\frac{1}{8}$时，线段MN的最大值是$\frac{1}{16}$；
②当$\frac{1}{4}$＜m≤2时，-4m²+m＜0，
MN=4m²-m=4（m-$\frac{1}{8}$）²-$\frac{1}{16}$，当m=2时，线段MN的最大值是14；
第二种情况：当m＜n时，点N的坐标为（m，n-m），
∵N在函数y=2x²的图象上，
∴n-m=2m²，即n=2m²+m，
∴y_M=2m²+m，y_N=2m²，
∴MN=|y_M-y_N|=|m|，
∵0≤m≤2，
∴MN=m，
∴当m=2时，线段MN的最大值是2；
综上所述：当m≥n时，线段MN的最大值是14；当m＜n时，线段MN的最大值是2．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用关联点的定义；解（2）的关键是利用关联点在同一函数图象上得出方程；解（3）的关键是利用关联点的定义得出M，N的纵坐标，又利用了平行于y轴直线上两点间的距离，要分类讨论，以防遗漏．