Question

如图所示，⊙O₁和⊙O₂外切于点C，AB是⊙O₁和⊙O₂的外公切线，A、B为切点，且∠ACB=90°．以AB所在直线为轴，过点C且垂直于AB的直线为轴建立直角坐标系，已知AO=4，OB=1．
（1）分别求出A、B、C各点的坐标；
（2）求经过A、B、C三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（3）如果⊙O₁的半径是5，问这条抛物线的顶点是否落在两圆连心线O₁ O₂上？如果在，请证明；如果不在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AO=4，OB=1，
∴A、B两点的坐标分别为：（-4，0），（1，0），
∵∠ACB=90°，
设C点坐标为（0，y），则AB²=AC²+BC²，
即（|-4-1|）²=（-4）²+y²+1²+y²，
即25=17+2y²，解得y=2（舍去）或y=-2．
故C点坐标为（0，-2），

（2）设经过A、B、C三点的抛物线的函数解析式为y=ax²+bx+c，
则，
解得，
故所求二次函数的解析式为y=x²+x-2．

（3）过C作两圆的公切线CD交AB于D，则AD=BD=CD，由A（-4，0），B（1，0）可知D（-，0），
设过CD两点的直线为y=kx+b，则，
解得，
故此一次函数的解析式为y=-x-2，
∵过O₁，O₂的直线必过C点且与直线y=-x-2垂直，
故过O₁，O₂的直线的解析式为y=x-2．
由（2）中所求抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（-，-），
代入直线解析式得×（-）-2=-，故这条抛物线的顶点落在两圆的连心O₁O₂上．
分析：（1）根据勾股定理求出C点坐标，利用AO=4，OB=1，即可得出A、B两点的坐标；
（2）用待定系数法即可求出经过A、B、C三点的抛物线的函数解析式；
（3）过C作两圆的公切线，交AB于点D，由切线长定理可求出D点坐标，根据C，D两点的坐标可求出过C，D两点直线的解析式，根据过一点且互相垂直的两条直线解析式的关系可求出过两圆圆心的直线解析式，再把抛物线的顶点坐标代入直线的解析式看是否适合即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，根据两圆外切的条件作出辅助线，结合抛物线和直线的性质解答是解题关键．