Question

已知，OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC．
（1）如图：若C为∠AOB内一点，探究∠MON与∠AOB的数量关系；
（2）若C为∠AOB外一点，且C不在OA、OB的反向延长线上，请你画出图形，并探究∠MON与∠AOB的数量关系．

Answer 1

解：（1）∵OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，
∴∠MOC+∠NOC=∠AOC+∠BOC=∠AOB，
即∠MON=∠AOB；
（2）如图1，∵OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，
∴∠MOC-∠NOC=∠AOC-∠BOC=∠AOB，
即∠MON=∠AOB；
如图2，∵OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，
∴∠NOC-∠MOC=∠BOC-∠AOC=∠AOB，
即∠MON=∠AOB；
如图3，∵OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，
∴∠MOC+∠NOC=∠AOC+∠BOC=（360°-∠AOB）
即∠MON=180°-∠AOB．
分析：（1）根据角平分线的定义得到∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，然后利用∠MOC+∠NOC=∠AOC+∠BOC即可得到∠MON=∠AOB；
（2）分类讨论：直线OA和OB把平面分成四个部分，（1）中讨论了一个部分，然后再其他三个部分进行讨论：如图1，由于∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，利用∠MOC-∠NOC=∠AOC-∠BOC即可得到∠MON=∠AOB；如图2，由于∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，利用∠NOC-∠MOC=∠BOC-∠AOC即可得到∠MON=∠AOB；如图3，由于∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC，利用∠MOC+∠NOC=∠AOC+∠BOC=（360°-∠AOB）即可得到∠MON=180°-∠AOB．
点评：本题考查了角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．