Question

已知直线y=-

1

2

+4交x轴于A，交y轴于B，M是OA上的一点，圆M交x轴与A、B两点，交y轴于B、D两点，
（1）求点M的坐标；
（2）若BE是圆M的直径，∠EBD的平分线交AE的延长线于F，求线段BF的长．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）作MN⊥AB于N，如图，先利用坐标上点的坐标特征确定A（8，0），B（0，4），再利用勾股定理计算出AB=4

5

，根据垂径定理由MN⊥AB得到AN=

1

2

AB=2

5

，然后证明Rt△AMN∽Rt△ABO，利用相似比计算出AM=5，则OM=OA-AM=3，于是得到点M的坐标为（3，0）；
（2）根据圆周角定理由BE为直径得到∠BAE=90°，利用∠1=∠2，∠3=∠4，加上∠1+∠2+∠3+∠4=90°得到∠1+∠3=45°，于是可判断△ABF为等腰直角三角形，所以BF=

2

AB=4

10

．

解答：解：（1）作MN⊥AB于N，如图，
∵直线y=-

1

2

x+4交x轴于A，交y轴于B，
∴A（8，0），B（0，4），
∴AB=

OB2+OA2

=4

5

，
∵MN⊥AB，
∴AN=BN=

1

2

AB=2

5

，
∵∠MAN=∠BAM，
∴Rt△AMN∽Rt△ABO，
∴AM：AB=AN：OA，即AM：4

5

=2

5

：8，
∴AM=5，
∴OM=OA-AM=8-5=3，
∴点M的坐标为（3，0）；
（2）∵BE为直径，
∴∠BAE=90°，
∵MA=MB，
∴∠1=∠2，
又∵BF平分∠EBD，
∴∠3=∠4，
而∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠3=45°，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴BF=

2

AB=

2

•4

5

=4

10

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算；理解坐标与图形性质．