Question

【题目】如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三点在抛物线上，

∴ ，

解得 ．

∴抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣

（2）

解：∵抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣ ，

∴其对称轴为直线x=﹣ =﹣ =2，

连接BC，如图1所示，

∵B（5，0），C（0，﹣ ），

∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），

∴ ，

解得 ，

∴直线BC的解析式为y= x﹣ ，

当x=2时，y=1﹣ =﹣ ，

∴P（2，﹣ ）

（3）

解：存在．

如图2所示，

①当点N在x轴下方时，

∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣ ），

∴N1（4，﹣ ）；

②当点N在x轴上方时，

如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，

在△AN2D与△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），

∴N2D=OC= ，即N2点的纵坐标为 ．

∴ x2﹣2x﹣ = ，

解得x=2+ 或x=2﹣ ，

∴N2（2+ ， ），N3（2﹣ ， ）．

综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣ ），（2+ ， ）或（2﹣ ， ）．

【解析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．