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26、如图,以点O为圆心的两个同心圆中,矩形ABCD的边BC为大圆的弦,边AD与小圆相切于点M,OM的延长线与BC相交于点N.
(1)点N是线段BC的中点吗?为什么?
(2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm,AB=5cm,BC=10cm,求小圆的半径.
分析:(1)由AD是小圆的切线可知OM⊥AD,再由四边形ABCD是矩形可知,AD∥BC,AB=CD,故ON⊥BC,由垂径定理即可得出结论;
(2)延长ON交大圆于点E,由于圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm,AB=5cm可知ME=6cm,在Rt△OBE中,利用勾股定理即可求出OM的长.
解答:解:(1)∵AD是小圆的切线,M为切点,
∴OM⊥AD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴ON⊥BC,
∴N是BC的中点;


(2)延长ON交大圆于点E,
∵圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm,AB=5cm,
∴ME=6cm,
在Rt△OBN中,设OM=r,
OB2=BN2+(OM+MN)2
即(r+6)2=52+(r+5)2
解得r=7cm,
故小圆半径为7cm.
点评:本题考查的是垂径定理,涉及到切线的性质及勾股定理、矩形的性质,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
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