Question

如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠1=∠4，AC=6

3

，BD=6．求四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析：（1）根据两角对应相等，夹边相等的两个三角形全等得出结论；
（2）由∠1=∠4，可推得四边形ABCD为菱形，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．

解答：解：（1）∵∠1=∠2，∠3=∠4，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC；

（2）∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD，
∵∠1=∠4，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠2=∠3=∠4，
∴AD=CD=AB=BC，
∴四边形ABCD为菱形，
∵AC=6

3

，BD=6．
∴BO=OD=3，AO=OC=3

3

，
∴AB=6．
故菱形的周长为24，
答：菱形的周长为24．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及菱形的判定和性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．