Question

【题目】如图1，△ABC内接于，点D是的中点，且与点C位于AB的异侧，CD交AB于点E.

（1）求证：△ADE∽△CDA

（2）如图2，若的直径AB，CE=2，求AD和CD的长.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2），.

【解析】

（1）根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”证角相等，进而可证三角形相似；

（2）连接BD，先证三角形ADB为等腰直角三角形，求出AD的长，再根据（1）中的相似三角形得出比例式求解即可.

（1）∵点D是的中点，

∴

∴∠ACD=∠BAD

∵∠ADE=∠CDA

∴△ADE∽△CDA

（2）连结BD，

∵点D时的中点，

∴AD=BD

∵AB是的直径，

∴∠ADB=90°

∴△ADB为等腰直角三角形，

∴，

由（1）得△ADE∽△CDA

∴，即，

∴，

∴，

解得CD=8或-6（负值舍去）

∴CD=8.