Question

16．如图，已知直线y=ax+b与双曲线$y=\frac{k}{x}$（x＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x₀，0），与y轴交于点C．
（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y₂），求点P的坐标．
（2）若b=y₁+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．
（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x₁，x₂，x₀之间的关系（不要求证明）．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，进一步可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线解析式，可求得P点坐标；
（2）过点A作AD∥x轴，交x轴于点D，利用△ACD∽△PCO，结合A、P、C的坐标可求得x₁、y₁之间的关系，结合AB=BP可表示出B点坐标，再结合A、B两点都在反比例函数图象上，可求得A、B两点的坐标；
（3）结合（1）、（2）中的坐标可猜得结论．

解答 解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=3，
∵点B（3，y₂）在y=$\frac{3}{x}$上，
∴y₂=1，即B点坐标为（3，1），
把A、B两点坐标代入直线y=ax+b，
可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{3a+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+4，
当y=0时，x=4，
∴P点坐标为（4，0）；
（2）如图，过A作AD∥x轴，交y轴于点D，则AD⊥y轴，

∴△ACD∽△PCO，
∴$\frac{CD}{OC}$=$\frac{AD}{OP}$，
∵b=y₁+1，P（6，0），A（x₁，y₁），
∴CD=1，OC=y₁+1，AD=x₁，OP=6，
∴$\frac{1}{{y}_{1}+1}$=$\frac{{x}_{1}}{6}$，
∵AB=BP，A（x₁，y₁），
∴B为AP中点，且P为（6，0）
∴B点坐标为（$\frac{{x}_{1}+6}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），
∵A、B两点都在y=$\frac{k}{x}$上，
∴x₁•y₁=$\frac{{x}_{1}+6}{2}$•$\frac{{y}_{1}}{2}$，解得x₁=2，
∴$\frac{1}{{y}_{1}+1}$=$\frac{2}{6}$，解得y₁=2，
∴A（2，2），B（4，1）；
（3）猜想x₁，x₂，x₀之间的关系式为：x₁+x₂=x₀．
理由如下：
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a{x}_{1}+b={y}_{1}}\\{a{x}_{2}+b={y}_{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}}\\{b=-\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$x-$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
令y=0可得x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，
∵x₁y₁=x₂y₂，
∴x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$=$\frac{（{y}_{2}-{y}_{1}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{2}-{y}_{1}}$=x₁+x₂，
即x₁+x₂=x₀．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、相似三角形的判定和性质、中点坐标公式及方程思想等．在（1）中求得B点的坐标是解题的关键，在（2）中用A、P两点的坐标表示出P点的坐标是解题的关键，在（3）中观察（1）（2）的结论即可得到．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．