【题目】已知:如图,在△ABC中,cos∠ABC=,sin∠ACB=,AC=2,分别以AB,AC为边向△ABC形外作正方形ABGF和正方形ACDE,连接EF,点M是EF的中点,连接AM,则AM的长为_____.
【答案】
【解析】
过F作AE的平行线,交AM的延长线于H,构造全等三角形,得出AE=FH=AC,AM=MH=AH,再根据△AFH≌△BAC(SAS),即可得到AM=BC,最后过A作AP⊥BC于P,求得BC的值,即可得到AM的长.
如图,过F作AE的平行线,交AM的延长线于H,则∠HFM=∠AEM,∠H=∠EAM,
∵点M是EF的中点,
∴FM=EM,
∴△FHM≌△EAM,
∴AE=FH=AC,AM=MH= AH,
∵四边形ABCF是正方形,
∴AF=BA,
∵∠AFH+∠FAE=180°,∠CAB+∠HFA=180°,
∴∠AFH=∠BAC,
在△AFH和△BAC中,
,
∴△AFH≌△BAC(SAS),
∴AH=BC=2AM,
即AM= BC,
如图,过A作AP⊥BC于P,
∵cos∠ABC= ,sin∠ACB= ,AC=2,
∴AP=AC×sin∠ACB=2× = ,CP= AC=1,∠BAP=45°=∠ABP,
∴BP=AP= ,
∴BC= +1,
∴AM= BC= ,
故答案是: .
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【题目】如图,AB为半圆O的直径,AD、BC分别切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E,AD与CD相交于D,BC与CD相交于C,连结OD、OE、OC,对于下列结论:
①AD+BC=CD;②∠DOC=90°;③S梯形ABCD=CDOA;④.
其中结论正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售,一天可售出128件.经过市场调查,发现这种商品的销售单价每降低1元,其日销量可增加8件.设该商品每件降价x元,商场一天可通过A商品获利润y元.
(1)求y与x之间的函数解析式(不必写出自变量x的取值范围)
(2)A商品销售单价为多少时,该商场每天通过A商品所获的利润最大?
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【题目】如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边AB、CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于O点,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC。
(1)求证:OE=OF;
(2)若BC=,求AB的长。
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【题目】知识是用来为人类服务的,我们应该把它们用于有意义的方面.下面就两个情景请你作出评判.
情景一:从教室到图书馆,总有少数同学不走人行道而横穿草坪,这是为什么呢?试用所学数学知识来说明这个问题.
情景二:A、B是河流l两旁的两个村庄,现要在河边修一个抽水站向两村供水,问抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短?请在图中表示出抽水站点P的位置,并说明你的理由:
你赞同以上哪种做法?你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么?
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【题目】某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱AB、CD均垂直于地面,点E在线段BD上,在C点测得点A的仰角为30°,点E的俯角也为30°,测得B、E间距离为10米,立柱AB高30米.求立柱CD的高(结果保留根号)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,OA⊥OB,AB⊥x轴于点C,点A(,1)在反比例函数y=的图象上.
(1)求反比例函数y=的表达式;
(2)在x轴上是否存在一点P,使得S△AOP=S△AOB,若存在,求所有符合条件点P的坐标;若不存在,简述你的理由.
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【题目】如图,AB为半圆O的直径,C是半圆上一点,且∠BOC=60°,设弓形AmC,△AOC,扇形BOC的面积分别为S1,S2,S3,则它们之间的大小关系是( )
A. S1<S2<S3 B. S2<S1<S3 C. S2<S3<S1 D. S3<S2<S1
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【题目】小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形状的场地,用于饲养鸡,已知第一条边长为m米,由于条件限制第二条边长只能比第一条边长的3倍少2米.
(1)用含m的式子表示第三条边长;
(2)第一条边长能否为10米?为什么?
(3)若第一条边长最短,求m的取值范围.
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