Question

（2012•镇江二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴的正半轴交于点C，顶点为E．
（1）求抛物线解析式及顶点E的坐标；
（2）如图，过点E作BC平行线，交x轴于点F，在不添加线和字母情况下，图中面积相等的三角形有：

△BCF与△BCE

；
（3）将抛物线向下平移，与x轴交于点M、N，与y轴的正半轴交于点P，顶点为Q．在四边形MNQP中满足S_△NPQ=S_△MNP，求此时直线PN的解析式．

Answer 1

分析：（1）直接运用待定系数法将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x²+bx+c就可以求出解析式，然后化为顶点式就可以求出顶点坐标；
（2）根据两平行线间的距离相等就可以得出△BCF与△BCE的高与底相等；
（3）根据平移可以得出对称轴不变为x=1，就可以求出b的值为2，可以设抛物线的解析式为y=-x²+2x+c（c＞0）．可以分别表示出P、Q的坐标，求出OP、DQ的值，当y=0时可以求出x的值，表示出M、N坐标及MN的长度，
过点Q作QG∥PN与x轴交于点G，连接NG，可以得出S_△MNP=S_△PNG．由条件得出Rt△QDG∽Rt△PON，由相似三角形的性质就可以求出c的值，从而求出P、N的坐标，再由待定系数法就可以求出直线PN的解析式．

解答：解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x²+bx+c的得

0=-1-b+c 0=-9+3b+c

，
解得：

b=2 c=3

∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
即y=-（x-1）²+4．
∴抛物线顶点E的坐标为（1，4）；

（2）∵EF∥BC，
∴△BCF与△BCE的BC边上的高相等，
S_△BCF=S_△BCE．

（3）将抛物线向下平移，则顶点Q在对称轴x=1上，
∴-

b

2a

=1，
∴-

b

-2

=1，
∴b=2，
设抛物线的解析式为y=-x²+2x+c（c＞0）．
∴此时，抛物线与y轴的交点为P（0，c），顶点为Q（1，1+c）．
∴OP=c，DQ=1+c．
∵y=0时
∴-x²+2x+c=0，
∴x1=1-

1+c

，x2=1+

1+c

，
∴M  (1-

1+c

，0)，N  (1+

1+c

，0)．
如图，过点Q作QG∥PN与x轴交于点G，连接NG，则S_△PNG=S_△PNQ．
∵S_△NPQ=S_△MNP，
∴S_△MNP=S_△PNG．
∴NG=MN=2

1+c

．
设对称轴x=1与x轴交于点D，
∴DG=

1

2

MN+NG=3

1+c

．
∵QG∥PN，
∴∠PND=∠QGD．
∴Rt△QDG∽Rt△PON．
∴

QD

DG

=

PO

ON

．
∴

1+c

3 1+c

=

c

1+ 1+c

．
 c=

5

4

．
∴点P (0，

5

4

)，N (

5

2

，0)．
设直线PN的解析式为y=mx+n，将P，N两点代入，得

5 4 =n 0= 5 2 +n

，
解得：

m=-- 1 2 n= 5 4

∴直线PN的解析式为 y=-

1

2

x+

5

4

．
故答案为：△BCF与△BCE．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及一次函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用，等底等高的三角形的面积关系的运用，相似三角形的判定及性质的运用，在解答时寻找相似三角形，运用其性质求c的值是解答本题的难点和关键．