Question

15．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象在第一象限交于点C，△ABC是边长为3的等边三角形，且AB边在x轴额正半轴上，cos∠COA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求k，m的值；
（2）点P在射线OC上，且OP=5$\sqrt{3}$，动点Q从点P出发先沿着适当的路径运动到线段AB中垂线上的点M处，再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点A处停止，当点Q的运动路径最短时，求N点坐标及点Q运动的最短路程；
（3）将△ABC绕点A进行旋转，在旋转过程中，设BC所在直线与射线OC相交于点R，与x轴正半轴交于点T，当△ORT为等腰三角形时，求OT的长．

Answer 1

分析 （1）由cos∠COA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得∠AOC=30°，求出点C坐标即可解决问题．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H，作PG⊥CH，使得PG=OH，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′G交y轴于N，作NM⊥y轴，交CH于M，此时点Q运动的路径P→M→N→A最短．
再想办法求出直线A′G的解析式即可解决问题．
（3）分三种情形讨论）①如图3中，当OR=OT时，作AG⊥BC于G，则AG=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，把△ATG放大（如图4中，在AG上取一点M，使得AM=MT），求出AT即可．②如图5中，当RO=RT时，作BG⊥AT于G．③如图6中，当TO=TR时，分别求解即可．

解答 解：（1）如图1中，作CK⊥AB于K．

∵cos∠COA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOC=30°，
∵△ABC是等边三角形，边长为3，
∴AB=BC=AC=3，∠CAB=∠CBA=∠ACB=60°，
∴∠BCO=90°，
∴OB=2BC=6，OC=3$\sqrt{3}$，
∴CK=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，OK=$\sqrt{3}$CK=$\frac{9}{2}$，
∴点C坐标（$\frac{9}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），分别代入正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$，
可得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，m=$\frac{27\sqrt{3}}{4}$．

（2）如图2中，作CH⊥AB于H，作PG⊥CH，使得PG=OH，作点A关于y轴的对称点A′，连接A′G交y轴于N，作NM⊥y轴，交CH于M，此时点Q运动的路径P→M→N→A最短．理由：PM+MN+NA=PG+NG+A′N，=PG+A′G，∵PG=MN=桥长，A′G是线段，两点之间线段最短，∴PM+MN+NA最短．

∵OP=5$\sqrt{3}$，∴点P坐标（$\frac{15}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），
∵AH=$\frac{3}{2}$，
∴PG=MN=OH=$\frac{9}{2}$，
∴G（3，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），∵A′（-3，0），
设直线A′G的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{3k+b=\frac{5\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5\sqrt{3}}{12}}\\{b=\frac{5\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线A′N的解析式为y=$\frac{5\sqrt{3}}{12}$x+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
∴点N坐标（0，$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），
∵A′G=$\sqrt{{6}^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{219}}{2}$，
∴点Q运动的最短路程=A′G+PG=$\frac{\sqrt{219}}{2}$+$\frac{9}{2}$．

（3）①如图3中，当OR=OT时，作AG⊥BC于G，则AG=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，把△ATG放大（如图4中，在AG上取一点M，使得AM=MT），

∵∠ATG=75°，∠TAG=15°，
∴∠A=∠MTA=15°，
∴∠TMG=30°，设GT=a，则MT=AM=2a，MG=$\sqrt{3}$a，
∴2a+$\sqrt{3}$a=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴a=3$\sqrt{3}$-$\frac{9}{2}$，
∴AT=$\sqrt{A{G}^{2}+G{T}^{2}}$=$\sqrt{（3\sqrt{3}-\frac{9}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{9}{2}$$\sqrt{2}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$，
∴OT=3+$\frac{9}{2}$$\sqrt{2}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$，

②如图5中，当RO=RT时，作BG⊥AT于G．

∵RO=RT，
∴∠ROT=∠RTO=30°，
∵∠ABC=60°=∠BAT+∠BTA，
∴∠BAT=∠BTA=30°，
∴BA=BT=3，AG=GT=AB•cos30°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴AT=3$\sqrt{3}$，OT=3+3$\sqrt{3}$．

③如图6中，当TO=TR时，

∵TO=TR，
∴∠TOR=∠TRO=30°，
∴∠OTR=120°，∠ATR=60°，
∴T与C重合，
∴OT=OA+AC=6．
综上所述，当△ORT为等腰三角形时，OT的长为3+$\frac{9}{2}$$\sqrt{2}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$或3+$\sqrt{3}$或6．

点评 本题考查反比例函数综合题、最短问题、旋转变换．平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活应用对称以及平行四边形的性质解决最短问题，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考压轴题．