Question

如图，抛物线y=x²+bx+c（b≤0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，0）；直线x=1与抛物线交于点E，与x轴交于点F，且45°≤∠FAE≤60度．
（1）用b表示点E的坐标；
（2）求实数b的取值范围；
（3）请问△BCE的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求E点的坐标关键是求出E的纵坐标．可将A点坐标代入抛物线的解析式中即可得出b，c的关系式．然后将E点的横坐标代入抛物线的解析式中即可得出E点的坐标．
（2）根据（1）的E点坐标即可的EF的长，在直角三角形AEF中，不难求出AF的长，可根据AF的长和∠FAE度数的取值范围即可求出EF的取值范围，即b的取值范围．
（3）由于三角形BCE的面积无法直接求出，因此可根据△BCE的面积=梯形OCEF的面积+△EFB的面积-△BOC的面积来得出关于△BCE的面积和b的函数关系式，根据函数的性质以及b的取值范围即可求出△BCE的面积的最大值．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过A（-2，0），
∴c=2b-4
∵点E在抛物线上，
∴y=1+b+c=1+2b-4+b=3b-3，
∴点E的坐标为（1，3b-3）．

（2）由（1）得EF=3-3b，
∵45°≤∠FAE≤60°，AF=3，
tan60°=

3-3b

3

=

3

，
∴b=1-

3

，
∴1-

3

≤b≤0．

（3）△BCE的面积有最大值，
∵y=x²+bx+c的对称轴为x=-

b

2

，A（-2，0），
∴点B的坐标为（2-b，0），
由（1）得C（0，2b-4），
而S_△BCE=S_梯形OCEF+S_△EFB-S_△OCB=

1

2

（OC+EF）•OF+

1

2

EF•FB-

1

2

OB•OC
=

1

2

[（4-2b）+（3-3b）]×1+

1

2

（3-3b）（1-b）-

1

2

（2-b）•（4-2b）
=

1

2

（b²-3b+2），
∵y=

1

2

（b²-3b+2）的对称轴是b=

3

2

，1-

3

≤b≤0
∴当b=1-

3

时，S_△BCE取最大值，
其最大值为

1

2

[（1-

3

）²-3（1-

3

）+2]=

3+ 3

2

．

点评：本题主要考查了二次函数的应用，综合性较强，考查学生数形结合的数学思想方法．