Question

19．已知：抛物线y=x²+2mx+m，m为常数．
（1）若抛物线的对称轴为直线x=2．
①求m的值及抛物线的解析式；
②如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，求过点A，B，C的外接圆的圆心E的坐标；
（2）若抛物线在-1≤x≤2上有最小值-4，求m的值．

Answer 1

分析 （1）①已知对称轴为x=2，利用对称轴公式x=$-\frac{b}{2a}$即可求出m的值．
②三角形ABC的外接圆圆心必在任意两条边的垂直平分线的交点上．其中AB的垂直平分线为x=2，所以设E（2，n）．利用两点间距离公式列出方程即可求出n的值．
（2）由于不知道对称轴的位置，所以对称轴x=-m由以下三种情况讨论：-m≤-1，-1＜-m＜2，-m≥2．

解答 解：（1）①∵该抛物线对称轴x=2
∴$-\frac{2m}{2}=2$
∴m=-2
∴y=x²-4x-2

②∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C
∴当y=0时，x²-4x-2=0
∴x₁=2+$\sqrt{6}$，x₂=2-$\sqrt{6}$
当x=0时，y=-2
∴A、B、C的点坐标为A（2-$\sqrt{6}$，0）、B（2+$\sqrt{6}$，0）、C（0，-2）
∵圆心E在AB、BC的垂直平分线的交点上．
∴点E的横坐标为2
设点E坐标为（2，n）
∵EA=EC
∴$\sqrt{（2-\sqrt{6}-2）^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{（2-0）^{2}+（n+2）^{2}}$
解得：n=-$\frac{1}{2}$
∴E（2，-$\frac{1}{2}$）

（2）该抛物线对称轴为x=-m
①当-m≤-1，m≥1，此时在x=-1处取得最小值
∴-4=1-2m+m，解得：m=5
②当-1＜-m＜2时，-2＜m＜1，在x=-m处取得最小值
∴-4=m²-2m²+m，解得：m₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$（不合题意，舍去），m₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
③当-m≥2时，m≤-2，在x=2处取得最小值
∴-4=4+4m+m，解得：m=$-\frac{8}{5}$
综上所述：m的值为5、$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$、-$\frac{8}{5}$

点评 本题考查二次函数的综合问题，其中（1）抛物线对称轴公式为x=-$\frac{b}{2a}$；（2）要求二次函数与x轴的交点坐标，只需要令y=0；与y轴的交点坐标，只需要令x=0；（3）要讨论二次函数在某个范围内的最值问题，需要讨论对称轴的位置．