Question

设x₁、x₂是方程x²-6x+a=0的两个根，以x₁、x₂为两边长的等腰三角形只可以画出一个，试求a的取值范围．

Answer 1

解：设x₁，x₂为方程两根，且x₁≤x₂，
则x₁=3-
x₂=3+
∵x₁＞0，x₂＞0
∴0＜a≤9
ⅰ当x₁=x₂时，
即△=9-a=0
a=9时为正三角形
ⅱ当x₁≠x₂时，
∵x₁≤x₂
∴以x₂为腰为等腰三角形必有一个
而等腰三角形只有一个，故不存在以x₂为底，x₁为腰的三角形
∴2x₁≤x₂
∴6-2≤3+
∴≥1
∴0＜a≤8
综上所述：当0＜a≤8或a=9时只有一个等腰三角形．
分析：设x₁≤x₂，则可以用含a的式子表示x，由x₁＞0，x₂＞0，则0＜a≤9，再分两种情况讨论，根据等腰三角形的性质，即可得出a的取职范围．
点评：本题考查了等腰三角形的性质以及一元二次方程的解法，是一道综合题，注意分类讨论思想．