Question

如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=4，BD=3，AD=5，以AB所在直线为x轴．以B点为原点建立平面直角坐标系．将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转，使C点落在y轴的正半轴上，C、D、A三点旋转后的位置分别是P、Q和T三点．
（1）求证：点D在y轴上；
（2）若直线y=kx+b经过P、Q两点，求直线PQ的解析式；
（3）将平行四边形PQTB沿y轴的正半轴向上平行移动，得平行四边形P′Q′T′B′，Q、T、B依次与点P′、Q′、T′、B′对应）．设BB′=m（0＜m≤3）．平行四边形P′Q′T′B′与原平行四边形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据AB、BD、AD的长，不难得出三角形ABD为直角三角形．由于A、B在x轴上，且B为原点，因此D必在y轴上；
（2）点P的坐标易求出，关键是求出Q点的坐标，可过Q作QH⊥y轴于H，那么可在直角三角形PQH中，根据PQ的长和∠QPB的三角函数值（∠QPB=∠DAB），求出PH，QH的长，即可得出Q点的坐标，然后用待定系数法求出直线PQ的解析式．
（3）当0＜m≤3，B'在线段BD上，此时重合部分是个五边形．设TB'与x轴的交点为M，AD与Q'T的交点为F，那么重合部分的面积可用梯形EFDB的面积-三角形EBB'的面积来求得．
梯形的上底可用AE的长和∠DAB的正切值求出（AE的长为A点横坐标绝对值与Q点横坐标绝对值的差），同理可在直角三角形BB′M中求出BM的长，由此可求出S、m的函数关系式．

解答：（1）证明：∵AB²+BD²=3²+4²=5²=AD²
∴△ABD为直角三角形，且AB⊥BD．
由于x轴⊥y轴，AB在x轴上，且B为原点，因此点D在y轴上．

（2）解：显然，P点坐标为（0，5），且PQ=DC=4，∠QPB=∠DAB．
过Q点作QH⊥BD，垂足为H．
在Rt△PQH中，QH=PQ•sin∠QPH=PQ•sin∠DAB=4×

3

5

=

12

5

．
PH=PQ•cos∠QPH=PQ•cos∠DAB=4×

4

5

=

16

5

．
BH=PB-PH=5-

16

5

=

9

5

．
∴Q（-

12

5

，

9

5

）．
∵直线过P、Q两点．
∴

b=5 - 12 5 k+b= 9 5

，解得

k= 4 3 b=5

．
∴直线PQ的解析式为y=

4

3

x+5．

（3）解：设B′T′与AB交于点M，Q′T′交AB于点E，交AD于点F．
∵0＜m≤3，∴S=S_梯形BDFE-S_△BB′M．
由（2）可知，BE=QH=

12

5

．
∴AE=AB-BE=4-

12

5

=

8

5

．
∴EF=AE•tan∠DAB=

8

5

×

3

4

=

6

5

．
∴S_梯形BDFE=

1

2

（EF+BD）•BE=

1

2

×（

6

5

+3）×

12

5

=

126

25

．
又ET′∥BB′，∴∠MB′B=∠T′=∠DAB．
∴BM=BB′•tan∠MBB=m•tan∠DAB=

3

4

m．
∴S_△BB'M=

1

2

BM•BB′=

1

2

×

3

4

m×m=

3

8

m²．
∴S=

126

25

-

3

8

m²（0＜m≤3）．

点评：本题主要考查了勾股定理、平行四边形的性质、图形的翻转变换、图形面积的求法以及一次函数、二次函数的应用等知识点．综合性强，难度较大．