【题目】在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB=xm,花园的面积为Sm2.
(1)若花园的面积为192m2,求x的值;
(2)写出花园面积S与x的函数关系式.x为何值时,花园面积S有最大值?最大值为多少?
(3)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是a(14≤a≤22)和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),设花园面积S的最大值为y,直接写出y与a的关系式.
【答案】(1)花园的面积为192m2,x的值为12m或16m;(2)x为14m时,花园面积S有最大值,最大值为196m2;(3)当x=28﹣a时,函数有最大值,y=﹣(14﹣a)2+196.
【解析】
(1)根据题意得出长×宽=192,进而得出答案;
(2)由题意可得出:S=x(28x)=x2+28x=(x14)2+196,再利用二次函数的性质求解;
(3)根据题意确定x的取值范围,利用二次函数增减性计算即可.
解:(1)依题意得 S=x(28﹣x),
当S=192时,有S=x(28﹣x)=192,
即x2﹣28x+192=0,
解得:x1=12,x2=16,
答:花园的面积为192m2,x的值为12m或16m;
(2)由题意可得出:
S=x(28﹣x)
=﹣x2+28x
=﹣(x﹣14)2+196,
答:x为14m时,花园面积S有最大值,最大值为196m2;
(3)依题意得:
,
解得:6≤x≤28﹣a,
S=x(28﹣x)=﹣x2+28x=﹣(x﹣14)2+196,
∵a=﹣1<0,当x≤14,y随x的增大而增大,
又6≤x≤28﹣a,
∴当x=28﹣a时,函数有最大值,
∴y=﹣(28﹣a﹣14)2+196=﹣(14﹣a)2+196.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点D,E在⊙O上,∠B=2∠ADE,点C在BA的延长线上.
(Ⅰ)若∠C=∠DAB,求证:CE是⊙O的切线;
(Ⅱ)若OF=2,AF=3,求EF的长.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知点A的坐标为(﹣1,0),点C的坐标为(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.
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【题目】如图,某高楼顶部有一信号发射塔,在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为∠α=48°和∠β=65°,矩形建筑物宽度AD=20m,高度CD=30m,则信号发射塔顶端到地面的高度FG为__米(结果精确到1m).
参考数据:sin48°=0.7,cos48°=0.7,tan48°=1.1,cos65°=0.4,tan65°=2.1
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【题目】如图,在边长为1的小正方形网格中,点A,B,C,D都在这些小正方形上,AB与CD相交于点O,则tan∠AOD等于( )
A. B. 2C. 1D.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BA=BC,BD平分∠ABC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)过点D作DE⊥BD,交BC的延长线于点E,若BC=5,BD=8,求四边形ABED的周长.
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【题目】某班开展安全知识竞赛活动,班长将所有同学的成绩(得分为整数,满分为100分)分成四类,并制作了如下的统计图表:
类别 | 成绩 | 频数 |
甲 | 60≤m<70 | 5 |
乙 | 70≤m<80 | a |
丙 | 80≤m<90 | 10 |
丁 | 90≤m≤100 | 5 |
根据图表信息,回答下列问题:
(1)该班共有学生________人;表中a=________;
(2)将丁类的五名学生分别记为A、B、C、D、E,现从中随机挑选两名学生参加学校的决赛,请借助树状图、列表或其他方式求B一定能参加决赛的概率.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=36°,过点A作AD∥BC,与∠ABC的平分线交于点D,BD与AC交于点E,与⊙O交于点F.
(1)求∠DAF的度数;
(2)求证:AE2=EFED;
(3)求证:AD是⊙O的切线.
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