Question

操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过B点，另一边与射线DC相交于点Q．设AP=x．
（1）当Q点在CD上时，线段PQ与线段PB的大小关系怎样？并证明你的结论；
（2）当Q在CD上时，设四边形PBCQ面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出x的取值范围；
（3）当点P在线段AC上滑动，且Q在DC延长线上时，△PCQ能否为等腰三角形？若能，求出x的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点P作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F，根据正方形的对角线平分一组对角可得AC平分∠BCD，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PF，然后求出∠EPF=90°，根据同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角边角”证明△BPE和△QPF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）先求出四边形PECF是正方形，再根据全等三角形的面积相等得到四边形PBCQ的面积等于正方形PECF的面积，然后根据正方形的性质表示出PC，再根据正方形的面积等于对角线平方的一半列式整理即可得解；
（3）延长BP交CD于G，根据点Q在DC的延长线上判断出∠PCQ＞90°，从而得到PC=QC，根据等边对等角可得∠1=∠2，然后根据同角的余角相等求出∠3=∠5，再根据两直线平行，内错角相等可得∠4=∠5，根据等角对等边的想可得AB=AP，从而得解．

解答：（1）结论：PQ=PB．
证明：如图1，过点P作PE⊥BC于E，作PF⊥CD于F，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
又∵PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，
∴PE=PF，
∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠BCD=90°，
∴∠EPF=90°，
∴∠2+∠EPQ=90°，
又∵∠1+∠EPQ=∠BPQ=90°，
∴∠1=∠2，
∵在△BPE和△QPF中，

∠1=∠2 PE=PF ∠PEB=∠PFQ

，
∴△BPE≌△QPF（ASA），
∴PB=PQ；

（2）解：∵∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四边形PECF是矩形，
又∵PE=PF，
∴四边形PECF是正方形，
∵正方形ABCD，AB=1，
∴AC=

2

，
∵AP=x，
∴PC=

2

-x，
由（1）知△BPE≌△QPF，
∴S_△BPE=S_△QPF，
∴S_{四边形PBCQ=}S_{正方形PECF}，
∴S_{四边形PBCQ}=

1

2

PC²=

1

2

（

2

-x）²=

1

2

x²-

2

x+1，
即y=

1

2

x²-

2

x+1，
∵点Q在CD上，
∴PC＞PQ，
∴

2

-x＞

2

2

，
解得x＜

2

2

，
所以，x的取值范围是0≤x＜

2

2

；

（3）解：如图2，延长BP交DC于G，
∵点Q在DC的延长线上，
∴∠PCQ＞90°，
∴∴等腰△PCQ中，PC=QC，
∴∠1=∠2，
∵∠BPQ=90°，
∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠5=∠3，
在正方形ABCD中，AB∥DC，
∴∠4=∠5，
∴∠4=∠3，
∴AP=AB，
∴x=1．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正方形的问题，往往通过作辅助线构造出全等三角形求解．