Question

（本题满分8分）如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为(－2，0)．

【小题1】⑴求线段AD所在直线的函数表达式．
【小题2】⑵动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度，按照A→D→C→B的顺序在菱形的边上匀速运动，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？

Answer 1

【小题1】1）求出D(0,2)得1分  ， AD解析式y=x+2…………………1分
【小题2】2）当t=2、6、10、14秒时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切。

解析考点：切线的判定；待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质。
专题：代数几何综合题。
分析：（1）在Rt△AOD中，根据OA的长以及∠BAD的正切值，即可求得OD的长，从而得到D点的坐标，然后利用待定系数法可求得直线AD的解析式。
（2）由于点P沿菱形的四边匀速运动一周，那么本题要分作四种情况考虑：
在Rt△OAD中，易求得AD的长，也就得到了菱形的边长，而菱形的对角线平分一组对角，那么∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA=30°；
①当点P在线段AD上时，若⊙P与AC相切，由于∠PAC=30°，那么AP=2R（R为⊙P的半径），由此可求得AP的长，即可得到t的值；
②③④的解题思路与①完全相同，只不过在求t值时，方法略有不同。
解答：（1）∵点A的坐标为（-2，0），∠BAD=60°，∠AOD=90°，
∴OD=OA?tan60°=2，
∴点D的坐标为（0，2），
设直线AD的函数表达式为y=kx+b，-2k+b=0；b=2，解得k=，b=2。
∴直线AD的函数表达式为y=x+2。

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCB=∠BAD=60°，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，
AD=DC=CB=BA=4，
如图所示：
①点P在AD上与AC相切时，
AP1=2r=2，
∴t1=2
②点P在DC上与AC相切时，
CP2=2r=2，
∴AD+DP2=6，
∴t2=6
③点P在BC上与AC相切时，
CP3=2r=2，
∴AD+DC+CP3=10，
∴t3=1
④点P在AB上与AC相切时，
AP4=2r=2，
∴AD+DC+CB+BP4=14，
∴t4=14，
∴当t=2、6、10、14时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切。
点评：此题主要考查了一次函数解析式的确定、解直角三角形、菱形的性质、切线的判定和性质等；需要注意的是（2）题中，点P是在菱形的四条边上运动，因此要将所有的情况都考虑到，以免漏解。