Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（

1

2

，0），对称轴为直x=-1，下列5个结论：①abc＞0；②a+2b+4c=0；③2a-b＞0；④3b+2c＞0；⑤a-b≥m（am-b），其中正确的结论为

 

．（注：只填写正确结论的序号）

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线对称轴为直线x=-

b

2a

=-1得到b=2a，则b＞0，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，所以abc＜0；由x=

1

2

，y=0，得到

1

4

a+

1

2

b+c=0，即a+2b+4c=0；由a=

1

2

b，a+b+c＞0，得到

1

2

b+2b+c＞0，即3b+2c＞0；由x=-1时，函数最大小，则a-b+c＜m²a-mb+c（m≠1），即a-b≤m（am-b）．

解答：解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a，则2a-b=0，所以③错误；
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵x=

1

2

时，y=0，
∴

1

4

a+

1

2

b+c=0，即a+2b+4c=0，所以②正确；
∵a=

1

2

b，a+b+c＞0，
∴

1

2

b+2b+c＞0，即3b+2c＞0，所以④正确；
∵x=-1时，函数最大小，
∴a-b+c＜m²a-mb+c（m≠1），
∴a-b≤m（am-b），所以⑤错误．
故答案为②④．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小．一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）．抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．