如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°D是AB边上的一点,以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E,连结DE并延长,与BC的延长线交于点F.
(1)求证:BD=BF;
(2)若BC=12,AD=8,求BF的长.
证明:(1)连结OE, ∵OD=OE,∴∠ODE=∠OED ∵⊙O与边AC相切于点E,∴OE⊥AE,∴∠OEA=90° ∵∠ACB=90°,∴∠OEA=∠ACB,∴OE∥BC,∴∠F=∠OED ∴∠ODE=∠F ∴BD=BF (2)过D作DG⊥AC于G,连结BE, ∴∠DGC=∠ECF,DG∥BC ∵BD为直径,∴∠BED=90° ∵BD=BF,∴DE=EF 在△DEG和△FEC中 ∵∠DGC=∠ECF,∠DEG=∠FEC,DE=EF ∴△DEG≌△FEC ∴DG=CF ∵DG∥BC,∴△ADG∽△ABC ∴ ∴ ∴ ∴或(舍去) ∴BF=BC+CF=12+4=16 |
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