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5.如图1,已知直线m⊥n,垂足为点A,现有一个直角三角形ABC,其中∠ACB=90°,∠B=30°,现将这个三角形按如图1方式放置,使点C落在直线m上.
操作:将△ABC绕点A逆时针旋转一周,如图2所示.
通过操作我们发现,当旋转一定角度α时,△ABC会被直线m或n分成两个三角形,其中一个三角形有两个角相等,请直接写出所有符合条件的旋转角度α.

分析 画出图形发现,符合条件的旋转角度α一共有8个,分别利用旋转角和三角形内角和及外角定理依次求出每个图形的等腰三角形.

解答 解:①当α=45°时,如图1,
由旋转得:∠BAB′=45°,
∵BC∥y轴,
∴∠BAD=∠B=30°,
∴∠DAB′=45°-30°=15°,
∵∠B=∠B′=30°,
∴∠C′DA=∠DAB′+∠B′=15°+30°=45°,
∴△AC′D是等腰直角三角形;
②当α=60°时,如图2,
∵BC∥y轴,
∴∠BAD=∠B=30°,
∴∠DAB′=60°-30°=30°,
∵∠B′=30°,
∴∠B′=∠DAB′,
∴△ADB′是等腰三角形;
③当α=135°时,如图3,
由旋转得:∠BAB′=135°,
∵∠BAE=30°,
∴∠B′AD=135°-90°-30°=15°,
∵∠B′=30°,
∴∠ADC′=30°+15°=45°,
∵∠C′=90°,
∴△AC′D是等腰直角三角形;
④当α=150°时,如图4,
∵∠CAC′=150°,
∴∠DAC′=180°-150°=30°,
∴∠B′AD=60°-30°=30°,
∴∠B′AD=∠B′=30°,
∴△ADB′是等腰三角形;
⑤当α=225°时,如图5,
∵∠CAC′=360°-225°=135°,
∴∠DAC′=135°-90°=45°,
∴△AC′D是等腰直角三角形;
⑥当α=240°时,如图6,
∵∠CAC′=360°-240°=120°,
∴∠DAC′=120°-90°=30°,
∴∠B′AD=60°-30°=30°,
∴∠B′AD=∠B′=30°,
∴△ADB′是等腰三角形;
⑦当α=315°时,如图7,
∵∠CAC′=360°-315°=45°,
∴△ADC′是等腰直角三角形;
⑧当α=330°时,如图8,
∵∠CAC′=360°-330°=30°,
∴∠B′AD=60°-30°=30°,
∴∠B′AD=∠B′=30°,
∴△ADB′是等腰三角形.
综上所述,所有符合条件的旋转角度α为45°、60°、135°、150°、225°、240°、315°、330°.

点评 本题是直角三角形的旋转变换问题,难度不大,但比较麻烦,容易丢解,要认真画图;明确对应线段的夹角就是旋转角,且旋转角都相等;本题应用了三角形的内角和及外角定理,要熟练掌握.

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