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    在△ABC中，点E在AC上，且
    AE
    EC
    =
    1
    2
    ，F为BE中点，AF的延长线交BC于D，求证：
    BD
    DC
    =
    1
    3
    ．
    考点：平行线分线段成比例,三角形中位线定理
    专题：证明题
    分析：过点E作EG∥AD交BC于G，然后判断出DF是△BEG的中位线，从而求出BD=DG，再求出
    AE
    AC
    ，然后根据平行线分线段成比例定理证明即可．
    解答：证明：如图，过点E作EG∥AD交BC于G，
    ∵F为BE中点，
    ∴DF是△BEG的中位线，
    ∴BD=DG，
    ∵
    AE
    EC
    =
    1
    2
    ，
    ∴
    AE
    AC
    =
    1
    1+2
    =
    1
    3
    ，
    ∵EG∥AD，
    ∴
    DG
    DC
    =
    AE
    AC
    =
    1
    3
    ，
    ∴
    BD
    DC
    =
    1
    3
    ．
    点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，此类题目，过点E作出辅助线是解题的关键，也是本题的难点．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．
    （1）求证：△BCD≌△FCE；
    （2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    探究并证明以下问题：
    （1）如图1，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且∠AOB=60°，点BO为线段上任意一点，以AP为边作等边三角形APF．连结BF，求证：BF=OP．
    （2）如图2，在正方形ABCD中，点P为BC边上任意一点，以AP为边作正方形APMN，F为正方形APMN的中心，连结BF，直接写出BF与CP的数量关系
     
    ．
    （3）如图3，在菱形ABCD中，AB：AC=m：n，点P为BC边上一点，以AP为对角线作菱形AFPM，满足∠ABC=∠AFP，连结BF，猜想BF与CP的数量关系，并证明你的结论．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    先化简，再求值：（
    2
    x-1
    +
    1
    x+1
    ）•（x2-1），其中x=
    		3
    -1
    3
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知直线l1∥l2，线段AB在直线l1上，BC垂直于l1交l2于点C，且AB=BC，P是线段BC上异于两端点的一点，过点P的直线分别交l2、l1于点D、E（点A、E位于点B的两侧），满足BP=BE，连接AP、CE．
    （1）求证：△ABP≌△CBE；
    （2）连结AD、BD，BD与AP相交于点F．如图2．
    ①当
    BC
    BP
    =2时，求证：AP⊥BD；
    ②当
    BC
    BP
    =n（n＞1）时，设△PAD的面积为S1，△PCE的面积为S2，求
    S1
    S2
    的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线y=-
    1
    2
    x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
    （1）求抛物线的表达式；
    （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
    （3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12-35岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，得到了如图所示的两个不完全统计图．

    请根据图中的信息，解决下列问题：
    （1）求条形统计图中a的值；
    （2）求扇形统计图中18-23岁部分的圆心角；
    （3）据报道，目前我国12-35岁网瘾人数约为2000万，请估计其中12-23岁的人数．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    若α、β是方程x2-2x-3=0的两个实数根，则α2+β2=
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（k≠0）的解析式（关系式）
     
    ．

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