Question

△ABC中，AB=AC，∠A=30°，BC=2，则△ABC的面积S_△ABC=

 

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Answer 1

分析：先作AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，易证△BCE∽△ACD，那么BE：BC=AD：AC，而AC=AB=2BE，于是可求∴AD=BE²，从而可得4AD=AD²+1，解得AD=2±

3

，由于在三角形中，大角对大边，从而可确定AD=2+

3

，利用三角形的面积公式可求△ABC的面积．

解答：解：如右图所示，作AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
又∵∠BCE=∠ACD，
∴△BCE∽△ACD，
∴BE：BC=AD：AC，
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴AB=2BE，
∴AC=2BE，
∴BE：2=AD：2BE，
∴AD=BE²，
又∵AC²=AD²+1，
∴4BE²=AD²+1，
∴4AD=AD²+1，
∴AD=2±

3

，
在△ACD中，∵∠ACD＞∠CAD，
∴AD＞CD，
∴AD=2+

3

，
∴S_△ABC=

1

2

AD×BC=

1

2

×（2+

3

）×2=2+

3

．
故答案是：2+

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算、解一元二次方程、在实际问题中确定未知数的值．解题的关键是分别作BC、AC边上的高AD、BE；直角三角形中30°的锐角所对的边等于斜边的一半．