Question

3．如图，△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于E．交∠ABC的平分线于D，DF⊥BC于F．
（1）求证：①BC-AB=2CF；②BC+AB=2BF；
（2）若∠ABC=60°，求∠ADE的度数．

Answer 1

分析 （1）①在BC上截取BM=BA，连接DM，由SAS证明△ABD≌△MBD，AD=MD，由线段垂直平分线的性质得出AD=CD，因此MD=CD，由等腰三角形的性质得出MF=CF，即可得出结论；②由BC=BF+CF，CF=MF，AB=MB，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得出∠ADE=∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，求出∠BDF=60°，由全等三角形的性质和等腰三角形的性质得出∠ADB=∠MDB，∠MDF=∠CDF，得出∠ADB+∠CDF=∠MDB+∠MDF=∠BDF=60°，因此∠ADC=120°，即可得出结果．

解答 （1）证明：①在BC上截取BM=BA，连接DM、CD，如图所示：
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
在△ABD和△MBD中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=BM}&{\;}\\{∠1=∠2}&{\;}\\{BD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△MBD（SAS），
∴AD=MD，
∵AC的垂直平分线DE交AC于E，
∴AD=CD，
∴MD=CD，
∵DF⊥BC，
∴MF=CF，
∵BC=BM+MF+CF，AB=BM，
∴BC-AB=CM=2CF；
②∵BC=BF+CF，CF=MF，AB=MB，
∴BC+AB=BF+CF+AB=BF+BM+MF=2BF；
（2）解：∵AD=CD，DE⊥AC，
∴∠ADE=∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，
∵∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，DF⊥BC，
∴∠BDF=90°-30°=60°，
∵△ABD≌△MBD，MD=CD，DF⊥BC，
∴∠ADB=∠MDB，∠MDF=∠CDF，
∴∠ADB+∠CDF=∠MDB+∠MDF=∠BDF=60°，
∴∠ADC=2×60°=120°，
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ADC=60°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．