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    如图所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°．
    （1）尺规作图：作∠BAC的平分线AM交BC于点D（只保留作图痕迹，不写作法）；
    （2）在（1）所作图形中，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使点A与点D重合，折痕EF交AC于点E，交AB于点F，连接DE、DF，再展回到原图形，得到四边形AEDF．
    ①试判断四边形AEDF的形状，并证明；
    ②若AC=8，CD=4，求四边形AEDF的周长和BD的长．

    【答案】分析：（1）按作角的平分线步骤作即可；
    （2）由题意和已知可知EF是线段AD的垂直平分线，AD是∠BAC的平分线，再证明△AEG≌△AFG，易得四边相等，所以四边形AEDF是菱形；②在Rt△ECD中，根据勾股定理求得DE的值，则AE=DE，即可求得周长；求BD的长，可证明△BFD∽△BAC，根据比例线段求得．
    解答：解：（1）如图，（1分）
    写出结论：射线AM就是所要求的角平分线；（2分）

    （2）①四边形AEDF是菱形．（3分）
    证明：如图，
    根据题意，可知EF是线段AD的垂直平分线，
    则AE=ED，AF=FD，∠AGE=∠AGF=90°，
    由（1）可知，AD是∠BAC的平分线，
    ∴∠EAD=∠DAF．
    ∵∠AGE=∠AGF，AG=AG，
    ∴△AEG≌△AFG．（4分）
    ∴AE=AF∴AE=ED=DF=AF．
    ∴四边形AEDF是菱形．（5分）
    ②设AE=x，则ED=x，CE=8-x，
    在Rt△ECD中，42+（8-x）2=x2，
    解得x=5，∴4x=20．
    即四边形AEDF的周长是20．（7分）
    由①可知，四边形AEDF是菱形，
    ∴FD∥AC，
    ∴△BFD∽△BAC，
    ∴，（8分）
    ∴，
    解得．
    即BD的长是．（10分）
    点评：本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析．
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    （2）在（1）所作图形中，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使点A与点D重合，折痕EF交AC于点E，交AB于点F，连接DE、DF，再展回到原图形，得到四边形AEDF．
    ①试说明四边形AEDF为平行四边形；
    ②若AB=10，BC=8，在折痕EF上有一动点P，求PC+PD的最小值．

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    如图所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°．
    （1）尺规作图：作∠BAC的平分线AM交BC于点D（只保留作图痕迹，不写作法）；
    （2）在（1）所作图形中，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使点A与点D重合，折痕EF交AC于点E，交AB于点F，连接DE、DF，再展回到原图形，得到四边形AEDF．①试判断四边形AEDF的形状，并证明；②若AC=8，CD=4，求四边形AEDF的周长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图所示，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠A的平分线．
    求证：AC+CD=AB．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图所示，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿射线CB方向平移到△A′B′C′的位置．若平移距离为3，求△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积．

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