Question

（2013•樊城区模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，则下列结论中正确的有（　　）
①DE⊥EC；②∠ADE=∠BEC；③AD•BC=BE•AE；④CD=AD+BC．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个?

Answer 1

分析：①运用角平分线的性质及平行线的性质，易得到∠ADC+∠BCD=90°，再通过三角形的内角和为180°，求得∠CED=90°，问题得证；
②先由平行线的性质得出∠A=180°-∠B=90°，再根据同角的余角相等即可证明∠ADE=∠BEC；
③先根据有两角对应相等的两三角形相似得出△ADE∽△BEC，再利用相似三角形的对应边成比例，即可证得AD•BC=BE•AE；
④过E作EF⊥CD于点F．通过角角边定理证得△AED≌△FED，△BCE≌△FCE，再利用全等三角形的性质证得BC=FC，AD=FD．问题得解．

解答：解：①∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠BCE，
∴∠DCE+∠CDE=90°，
∴DE⊥EC；
故本选项正确；
②∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°．
由①知∠DEC=90°，
∴∠BEC+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠BEC；
故本选项正确；
③在△ADE与△BEC中，

∠A=∠B=90° ∠ADE=∠BEC

，
∴△ADE∽△BEC，
∴

AD

BE

=

AE

BC

，
∴AD•BC=BE•AE；
故本选项正确；
④过E作EF⊥CD于点F，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE．
在△AED与△FED中，

∠A=∠EFD=90° ∠ADE=∠FDE DE=DE

，
∴△AED≌△FED（AAS），
∴AD=FD，
同理，△BCE≌Rt△FCE，
∴BC=FC，
又∵CF+FD=BC，
∴AD+BC=DC，
即CD=AD+BC；
故本选项正确．
故选D．

点评：本题主要考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是熟练掌握三角形全等、相似的三角形判定定理、性质定理，做到灵活运用．