Question

如图，己知正方形ABCD的边长为12，点P为CD边上的一个动点（点P与D、C不重合），AP的垂直平分线EF分别交AD、AP、BC于点F、H、E，交AB的延长线于点G．
（1）证明：△BGE∽△HAF；
（2）判断EF与AP是否相等，并给出证明；
（3）连AE，若△AEH的面积是△AFH面积的2倍，试求此时FG的长．

Answer 1

分析：（1）已知EF垂直平分AP可得∠AHF=∠GBE易证△BGE∽△HAF．
（2）做EM垂直AD，证明四边形EMDC为矩形，可得EM∥GA然后得证．
（3）本题要利用1，2问的答案利用三角函数进行解答．

解答：证明：（1）在正方形ABCD中，AF∥BE，∠GBE=GAF=90°，
∵AP的垂直平分线为EF，∴∠AHF=90°，
∴∠AHF=∠GBE，（1分）
又∵∠G+∠PAG=90°，∠HAF+∠PAG=90°，
∴∠G=∠HAF．（3分）
∴△BGE∽△HAF．（4分）

（2）EF=AP．（5分）
过E作EM⊥AD交AD于M，则四边形EMDC为矩形，
∴EM=CD=AD，（6分）
又∠EMD=90°，∠GAD=∠ADP=90°，
∴∠EMD=∠GAD=∠ADP，
∴GA∥EM．
∴∠FEM=∠G．（8分）
又由（1）△BGE∽△HAF，
∴∠FEM=∠G=∠DAP．（9分）
在△PDA和△FME中
∵

∠FEM=∠PAD ME=AD ∠FME=∠PDA=90°

，
∴△PDA≌△FME，∴EF=AP．（10分）

（3）由题意有：

1

2

×HE×AH=

1

2

×FH×AH，∴EH=2FH．（11分）
∴FH=

1

3

EF=

1

3

AP．∴tan∠HAF=

FH

AH

=

1 3 AP

1 2 AP

=

2

3

．
又在Rt△PDA和Rt△FHA中，
由tan∠HAF=tan∠PAD=

DP

AD

=

DP

12

，∴DP=8，（12分）
∴AP=

122+82

=

208

=4

13

，
∴COS∠PAD=

AD

AP

=

12

4 13

=

3

13

．同理sin∠PAD=

2

13

．
∴cos∠FAH=

AH

AF

=

2 13

AF

=

3

13

，得AF=

26

3

．（13分）
又在Rt△FAG中，
由sinG=

AF

FG

，又sinG=sin∠PAD，
∴sinG=

AF

FG

=

26 3

FG

=

2

13

，
得FG=

13 13

3

．
即试求此时FG的长为

13 13

3

．（14分）
〖本题解法较多，如先求BG，HG等，其它解法可比照给分〗

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）的有关知识以及矩形的判定定理．有一定难度．